Упр.45.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\log_{5}(3x+1)<2$$;
б) $$\log_{0{,}5}\frac{x}{3}\geqslant -2$$;
в) $$\log_{\frac{1}{4}}\frac{x}{5}>1$$;
г) $$\log_{\sqrt{3}}(2x-3)<4$$.
а) $$\log_5(3x+1)<2$$
Так как $$2=\log_5 25,$$ то
$$\log_5(3x+1)<\log_5 25.$$
При основании $$5>1$$ получаем:
$$3x+1<25.$$
С учётом области определения $$3x+1>0$$ имеем:
$$\begin{aligned} 3x+1>0,\\ 3x+1<25. \end{aligned}$$
Отсюда
$$\begin{aligned} 3x>-1,\\ 3x<24, \end{aligned}$$
значит,
$$-\frac13<x<8.$$
Ответ: $$x\in\left(-\frac13;8\right).$$
б) $$\log_{0,5}\frac{x}{3}\ge -2$$
Так как $$-2=\log_{0,5}(0,5)^{-2},$$ то
$$\log_{0,5}\frac{x}{3}\ge \log_{0,5}(0,5)^{-2}.$$
При основании $$0,5<1$$ знак неравенства меняется:
$$\frac{x}{3}\le (0,5)^{-2}.$$
С учётом области определения $$\frac{x}{3}>0$$ получаем:
$$\begin{aligned} x>0,\\ \frac{x}{3}\le 4. \end{aligned}$$
Следовательно,
$$0<x\le 12.$$
Ответ: $$x\in(0;12].$$
в) $$\log_{\frac14}\frac{x}{5}>1$$
Так как $$1=\log_{\frac14}\frac14,$$ то
$$\log_{\frac14}\frac{x}{5}>\log_{\frac14}\frac14.$$
При основании $$\frac14<1$$ знак неравенства меняется:
$$\frac{x}{5}<\frac14.$$
С учётом области определения $$\frac{x}{5}>0$$ имеем:
$$\begin{aligned} x>0,\\ x<\frac54. \end{aligned}$$
Значит,
$$0<x<\frac54.$$
Ответ: $$x\in\left(0;\frac54\right).$$
г) $$\log_{\sqrt3}(2x-3)<4$$
Так как $$4=\log_{\sqrt3}(\sqrt3)^4,$$ то
$$\log_{\sqrt3}(2x-3)<\log_{\sqrt3}(\sqrt3)^4.$$
При основании $$\sqrt3>1$$ получаем:
$$2x-3<(\sqrt3)^4=9.$$
С учётом области определения $$2x-3>0$$ имеем:
$$\begin{aligned} 2x-3>0,\\ 2x-3<9. \end{aligned}$$
Отсюда
$$\begin{aligned} x>\frac32,\\ x<6. \end{aligned}$$
Следовательно,
$$\frac32<x<6.$$
Ответ: $$x\in\left(\frac32;6\right).$$
