Упр.45.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_{\frac{1}{3}} x \le 2$$; б) $$\log_{\frac{1}{2}} x \ge -3$$; в) $$\log_{0{,}2} x < 3$$; г) $$\log_{0{,}1} x > -\frac{1}{2}$$.

а) $$\log_{\frac13}x\le 2$$

Так как основание логарифма $$\frac13$$ лежит между $$0$$ и $$1$$, при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

$$x\ge \left(\frac13\right)^2=\frac19,$$

при этом $$x>0$$. Значит,

$$x\in\left[\frac19;+\infty\right).$$

б) $$\log_{\frac12}x\ge -3$$

Поскольку $$\frac12<1$$, знак неравенства меняется:

$$x\le \left(\frac12\right)^{-3}=8,$$

и с учётом области определения $$x>0$$ получаем

$$x\in(0;8].$$

в) $$\log_{0{,}2}x<3$$

Так как $$0{,}2<1$$, то

$$x>0{,}2^3=0{,}008,$$

следовательно,

$$x\in(0{,}008;+\infty).$$

г) $$\log_{0{,}1}x>-\frac12$$

Основание $$0{,}1<1$$, значит, знак неравенства меняется:

$$x<0{,}1^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt{0{,}1}}=\sqrt{10}.$$

С учётом области определения $$x>0$$ получаем

$$x\in(0;\sqrt{10}).$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac19;+\infty\right)$$; б) $$x\in(0;8]$$; в) $$x\in(0{,}008;+\infty)$$; г) $$x\in(0;\sqrt{10})$$.