Упр.45.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases}\log_{0,1}(x^2-12)<\log_{0,1}(-x),\\2^{x-1}>\frac{1}{8};\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}3^{x^2-5x-4}<9,\\\log_{\frac{1}{5}}(x^2+3)\geq\lg_{\frac{1}{5}}(4x).\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_{0,1}(x^2-12)<\log_{0,1}(-x),\\ 2^{x-1}>\dfrac18. \end{cases}$$

Так как основание логарифма $$0,1<1,$$ то при сравнении логарифмов знак неравенства меняется:

$$x^2-12>-x.$$

Получаем

$$x^2+x-12>0,$$

$$(x+4)(x-3)>0.$$

Отсюда

$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>3.$$

Второе неравенство:

$$2^{x-1}>\dfrac18=2^{-3}.$$

Так как основание $$2>1,$$ имеем

$$x-1>-3,$$

$$x>-2.$$

Теперь учтём область допустимых значений логарифмов:

$$\begin{cases} x^2-12>0,\\ -x>0. \end{cases}$$

То есть

$$x<-2\sqrt3 \quad \text{или} \quad x>2\sqrt3,$$

и одновременно

$$x<0.$$

Следовательно, для ОДЗ получаем

$$x<-2\sqrt3.$$

Пересечём все условия:

$$\left(x<-4 \ \text{или}\ x>3\right)\cap (x>-2)\cap (x<-2\sqrt3)=\varnothing.$$

Значит, система не имеет решений.

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 3^{x^2-5x-4}<9,\\ \log_{1/5}(x^2+3)\ge \log_{1/5}(4x). \end{cases}$$

Так как $$9=3^2,$$ а основание $$3>1,$$ то

$$x^2-5x-4<2,$$

$$x^2-5x-6<0,$$

$$(x+1)(x-6)<0.$$

Отсюда

$$-1<x<6.$$

Во втором неравенстве основание $$\dfrac15<1,$$ поэтому знак меняется:

$$x^2+3\le 4x.$$

Тогда

$$x^2-4x+3\le 0,$$

$$(x-1)(x-3)\le 0,$$

откуда

$$1\le x\le 3.$$

Проверим ОДЗ логарифмов:

$$x^2+3>0,\qquad 4x>0,$$

то есть $$x>0.$$ Это условие уже выполнено на отрезке $$[1;3].$$

Пересечение решений:

$$(-1;6)\cap [1;3]=[1;3].$$

Ответ

а) $$\varnothing$$; б) $$[1;3]$$.