Упр.45.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система $$\log_3 x^2 > \log_3 125 — \log_3 5,\quad \log_{0,2}(x — 1) < 0$$;

б) система $$\log_{\frac{1}{2}} x^2 \geq \log_{\frac{1}{2}} 28 — \log_{\frac{1}{2}} 7,\quad \log_3(4x — 1) > 0$$.

Решение

а) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \log_3 x^2 > \log_3 125-\log_3 5,\\ \log_{0,2}(x-1) < 0. \end{cases}$$

Преобразуем первое неравенство:

$$\log_3 125-\log_3 5=\log_3 \frac{125}{5}=\log_3 25,$$
$$\log_3 x^2 > \log_3 25 \;\Rightarrow\; x^2>25.$$

Так как основание $$0,2<1$$, то знак неравенства при переходе к показателю меняется:

$$\log_{0,2}(x-1)<0=\log_{0,2}1 \;\Rightarrow\; x-1>1 \;\Rightarrow\; x>2.$$

Из условия $$x^2>25$$ получаем $$x>5$$ или $$x<-5$$. С учётом $$x>2$$ остаётся:

$$x>5.$$

б) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \log_{\frac12} x^2 \ge \log_{\frac12} 28-\log_{\frac12} 7,\\ \log_3(4x-1)>0. \end{cases}$$

Преобразуем первое неравенство:

$$\log_{\frac12} 28-\log_{\frac12} 7=\log_{\frac12}\frac{28}{7}=\log_{\frac12}4,$$
$$\log_{\frac12} x^2 \ge \log_{\frac12}4.$$

Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенства меняется:

$$x^2 \le 4 \;\Rightarrow\; -2 \le x \le 2.$$

Во втором неравенстве основание $$3>1$$, значит:

$$\log_3(4x-1)>0=\log_3 1 \;\Rightarrow\; 4x-1>1 \;\Rightarrow\; x>\frac12.$$

Пересекаем полученные условия:

$$-2 \le x \le 2,\quad x>\frac12 \;\Rightarrow\; \frac12<x\le 2.$$

Ответ

а) $$x\in(5;+\infty)$$
б) $$x\in\left(\frac12;2\right]$$