Упр.45.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите систему неравенств:

а) $$\begin{cases}\log_2(x+3)>\log_2(x-2),\\ \log_6(3-x)\leq\log_6(9x+4);\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\log_3(6x-1)\leq\log_3(9x+11),\\ \log_6(3-x)>\log_6(4x-1).\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_2(2x+3) > \log_2(x-2),\\ \log_6(3x-1) \le \log_6(9x+4). \end{cases}$$

Так как основания логарифмов больше $$1$$, то знаки неравенств сохраняются:

$$\begin{cases} 2x+3 > x-2,\\ 3x-1 \le 9x+4. \end{cases}$$

Получаем:

$$\begin{cases} x > -5,\\ -6x \le 5. \end{cases}$$

Теперь учтём область допустимых значений:

$$\begin{cases} x-2 > 0,\\ 3x-1 > 0. \end{cases}$$

Отсюда

$$x>2,\qquad x>\frac13.$$

Пересечение всех условий:

$$x>2.$$

Ответ: $$x\in(2;+\infty).$$

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_3(6x-1) \le \log_3(9x+11),\\ \log_6(3-x) > \log_6(4x-1). \end{cases}$$

Так как основания логарифмов больше $$1$$, то знаки неравенств сохраняются:

$$\begin{cases} 6x-1 \le 9x+11,\\ 3-x > 4x-1. \end{cases}$$

Решаем:

$$\begin{cases} -3x \le 12,\\ -5x > -4. \end{cases}$$

Отсюда

$$x \ge -4,\qquad x<\frac45.$$

Теперь найдём область допустимых значений:

$$\begin{cases} 6x-1 > 0,\\ 9x+11 > 0,\\ 3-x > 0,\\ 4x-1 > 0. \end{cases}$$

То есть

$$x>\frac16,\qquad x>-\frac{11}{9},\qquad x<3,\qquad x>\frac14.$$

С учётом ОДЗ получаем:

$$\frac14<x<\frac45.$$

Ответ: $$x\in\left(\frac14;\frac45\right).$$