Упр.45.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
   а) $$\log_{12}(x^2-x)\le 1$$;
   б) $$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-10x+9)\ge 0$$;
   в) $$\log_{9}(x^2-8x)\le 1$$;
   г) $$\log_{0,3}(-x^2+7x-5)<0$$?

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$\log_{12}(x^2-x)\le 1$$

   Так как $$12>1,$$ получаем:

   $$x^2-x\le 12.$$

   Тогда

   $$x^2-x-12\le 0,$$

   $$(x+3)(x-4)\le 0,$$

   откуда $$-3\le x\le 4.$$

   Область определения:

   $$x^2-x>0,$$

   $$x(x-1)>0,$$

   $$x<0 \text{ или } x>1.$$

   Пересечение с $$-3\le x\le 4$$ даёт целые числа:

   $$x=-3,-2,-1,2,3,4.$$

   Их количество равно $$6.$$

2. $$\log_{\frac12}(x^2-10x+9)\ge 0$$

   Так как $$0<\frac12<1,$$ знак неравенства меняется:

   $$x^2-10x+9\le 1.$$

   Получаем

   $$x^2-10x+8\le 0,$$

   $$x=5\pm \sqrt{17},$$

   значит

   $$5-\sqrt{17}\le x\le 5+\sqrt{17}.$$

   Область определения:

   $$x^2-10x+9>0,$$

   $$(x-1)(x-9)>0,$$

   $$x<1 \text{ или } x>9.$$

   Пересечение с найденным промежутком не содержит целых чисел.

   Целых решений нет.

3. $$\log_9(x^2-8x)\le 1$$

   Так как $$9>1,$$ имеем:

   $$x^2-8x\le 9.$$

   Тогда

   $$x^2-8x-9\le 0,$$

   $$(x+1)(x-9)\le 0,$$

   откуда

   $$-1\le x\le 9.$$

   Область определения:

   $$x^2-8x>0,$$

   $$x(x-8)>0,$$

   $$x<0 \text{ или } x>8.$$

   Пересечение даёт целые решения:

   $$x=-1,9.$$

   Их количество равно $$2.$$

4. $$\log_{0.3}(-x^2+7x-5)<0$$

   Так как $$0<0.3<1,$$ то

   $$-x^2+7x-5>1.$$

   Получаем

   $$-x^2+7x-6>0,$$

   $$x^2-7x+6<0,$$

   $$(x-1)(x-6)<0,$$

   откуда

   $$1<x<6.$$

   Целые решения:

   $$x=2,3,4,5.$$

   Их количество равно $$4.$$

Ответ: а) $$6$$; б) $$0$$; в) $$2$$; г) $$4$$.