Упр.45.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства:
   а) $$\log_{7}(6x-9)<\log_{7}(2x+3)$$;
   б) $$\log_{\frac{1}{5}}(2-x)\geq\log_{\frac{1}{5}}(2x+4)$$;
   в) $$\lg(8x-16)<\lg(3x+1)$$;
   г) $$\log_{0,4}(7-x)\geq\log_{0,4}(3x+6)$$.

Используем свойство логарифмической функции: при основании $$a>1$$ знак неравенства сохраняется, а при $$0<a<1$$ — меняется на противоположный. Затем учитываем область допустимых значений.

1. $$\log_7(6x-9)<\log_7(2x+3)$$

   Так как $$7>1$$, получаем

   $$6x-9<2x+3$$

   $$4x<12$$

   $$x<3$$

   ОДЗ:

   $$6x-9>0,\quad 2x+3>0$$

   $$x>\frac{3}{2},\quad x>-\frac{3}{2}$$

   Значит, $$\frac{3}{2}<x<3$$. Наибольшее целое решение: $$x=2$$.

2. $$\log_{\frac15}(2-x)\ge \log_{\frac15}(2x+4)$$

   Так как $$0<\frac15<1$$, знак неравенства меняется:

   $$2-x\le 2x+4$$

   $$-3x\le 2$$

   $$x\ge -\frac23$$

   ОДЗ:

   $$2-x>0,\quad 2x+4>0$$

   $$x<2,\quad x>-2$$

   Следовательно, $$-\frac23\le x<2$$. Наибольшее целое решение: $$x=1$$.

3. $$\lg(8x-16)<\lg(3x+1)$$

   Так как основание десятичного логарифма больше 1, имеем

   $$8x-16<3x+1$$

   $$5x<17$$

   $$x<\frac{17}{5}$$

   ОДЗ:

   $$8x-16>0,\quad 3x+1>0$$

   $$x>2,\quad x>-\frac13$$

   Значит, $$2<x<\frac{17}{5}$$. Наибольшее целое решение: $$x=3$$.

4. $$\log_{0,4}(7-x)\ge \log_{0,4}(3x+6)$$

   Так как $$0<0,4<1$$, знак неравенства меняется:

   $$7-x\le 3x+6$$

   $$1\le 4x$$

   $$x\ge \frac14$$

   ОДЗ:

   $$7-x>0,\quad 3x+6>0$$

   $$x<7,\quad x>-2$$

   Следовательно, $$\frac14\le x<7$$. Наибольшее целое решение: $$x=6$$.

Ответ

а) $$2$$; б) $$1$$; в) $$3$$; г) $$6$$.