Упр.45.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\log_2^2 x^2 — 15\log_2 x — 4 \le 0$$;
б) $$\log_{\frac{1}{3}}^2 x^2 — 7\log_{\frac{1}{3}} x + 3 \le 0$$;
в) $$\log_3^2 x^2 + 13\log_3 x + 3 < 0$$;
г) $$\log_{\frac{1}{5}}^2 x^2 — 31\log_{\frac{1}{5}} x — 8 < 0$$.
а) Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда получаем:
$$4y^2-15y-4\le 0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=15^2+4\cdot 4\cdot 4=289,$$
$$y_1=\frac{15-17}{8}=-\frac14,\qquad y_2=\frac{15+17}{8}=4.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$-\frac14\le y\le 4.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$-\frac14\le \log_2 x\le 4.$$
Так как основание $$2>1$$, получаем
$$2^{-1/4}\le x\le 2^4.$$
Следовательно,
$$x\in\left[2^{-1/4};\,16\right].$$
б) Пусть $$y=\log_{\frac13} x.$$ Тогда
$$4y^2-7y+3\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=7^2-4\cdot 4\cdot 3=1,$$
$$y_1=\frac{7-1}{8}=\frac34,\qquad y_2=\frac{7+1}{8}=1.$$
Тогда
$$\frac34\le y\le 1.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\frac34\le \log_{\frac13} x\le 1.$$
Так как основание $$\frac13<1$$, при переходе к показательной форме знаки неравенств меняются:
$$\left(\frac13\right)^{3/4}\ge x\ge \left(\frac13\right)^1.$$
Значит,
$$x\in\left[\frac13;\,\frac{1}{\sqrt[4]{27}}\right].$$
в) Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда
$$4y^2+13y+3<0.$$
Найдём корни:
$$D=13^2-4\cdot 4\cdot 3=121,$$
$$y_1=\frac{-13-11}{8}=-3,\qquad y_2=\frac{-13+11}{8}=-\frac14.$$
Следовательно,
$$-3<y<-\frac14.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$-3<\log_3 x<-\frac14.$$
Так как $$3>1$$, получаем
$$3^{-3}<x<3^{-1/4}.$$
Итак,
$$x\in\left(\frac1{27};\,\frac1{\sqrt[4]{3}}\right).$$
г) Пусть $$y=\log_{\frac15} x.$$ Тогда
$$4y^2-31y-8<0.$$
Найдём корни:
$$D=31^2+4\cdot 4\cdot 8=1089,$$
$$y_1=\frac{31-33}{8}=-\frac14,\qquad y_2=\frac{31+33}{8}=8.$$
Тогда
$$-\frac14<y<8.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$-\frac14<\log_{\frac15} x<8.$$
Так как основание $$\frac15<1$$, получаем
$$\left(\frac15\right)^{-1/4}>x>\left(\frac15\right)^8.$$
Следовательно,
$$x\in\left(\frac1{5^8};\,\sqrt[4]{5}\right).$$
Ответ
а) $$x\in\left[2^{-1/4};\,16\right]$$; б) $$x\in\left[\frac13;\,\frac{1}{\sqrt[4]{27}}\right]$$; в) $$x\in\left(\frac1{27};\,\frac1{\sqrt[4]{3}}\right)$$; г) $$x\in\left(\frac1{5^8};\,\sqrt[4]{5}\right).$$
