Упр.45.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2\log_{5}^{2}x+6\log_{5}x+2\geq 0$$; б) $$2\log_{0,3}^{2}x-7\log_{0,3}x-4\leq 0$$; в) $$3\log_{4}^{2}x-7\log_{4}x+2<0$$; г) $$3\log_{\frac{1}{3}}^{2}x+5\log_{\frac{1}{3}}x-2>0$$.

Положим $$t=\log_5 x.$$ Тогда $$2\log_5^2 x+5\log_5 x+2\ge 0$$ переходит в

$$2t^2+5t+2\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$2t^2+5t+2=(2t+1)(t+2).$$

Тогда

$$(2t+1)(t+2)\ge 0,$$

откуда

$$t\le -2 \quad \text{или} \quad t\ge -\frac12.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$\log_5 x\le -2 \quad \text{или} \quad \log_5 x\ge -\frac12.$$

Так как основание $$5>1$$, имеем

$$0<x\le 5^{-2}=\frac1{25} \quad \text{или} \quad x\ge 5^{-1/2}=\frac1{\sqrt5}.$$

Ответ: $$x\in\left(0;\frac1{25}\right]\cup\left[\frac1{\sqrt5};+\infty\right).$$

Положим $$t=\log_{0,3} x.$$ Тогда

$$2\log_{0,3}^2 x-7\log_{0,3} x-4\le 0$$

переходит в

$$2t^2-7t-4\le 0.$$

Разложим на множители:

$$2t^2-7t-4=(2t+1)(t-4).$$

Следовательно,

$$-\frac12\le t\le 4.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$-\frac12\le \log_{0,3} x\le 4.$$

Так как $$0<0,3<1$$, при переходе к $$x$$ знаки неравенств меняются:

$$0,3^4\le x\le 0,3^{-1/2}.$$

Вычислим:

$$0,3^4=0,0081,\qquad 0,3^{-1/2}=\frac1{\sqrt{0,3}}=\frac{\sqrt{30}}{3}.$$

Ответ: $$x\in\left[0,0081;\frac{\sqrt{30}}{3}\right].$$

Положим $$t=\log_4 x.$$ Тогда

$$3\log_4^2 x-7\log_4 x+2<0$$

переходит в

$$3t^2-7t+2<0.$$

Разложим на множители:

$$3t^2-7t+2=(3t-1)(t-2).$$

Тогда

$$\frac13<t<2.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$\frac13<\log_4 x<2.$$

Так как $$4>1$$, имеем

$$4^{1/3}<x<4^2.$$

Следовательно,

$$\sqrt[3]{4}<x<16.$$

Ответ: $$x\in\left(\sqrt[3]{4};16\right).$$

Положим $$t=\log_{1/3} x.$$ Тогда

$$3\log_{1/3}^2 x+5\log_{1/3} x-2>0$$

переходит в

$$3t^2+5t-2>0.$$

Разложим на множители:

$$3t^2+5t-2=(3t-1)(t+2).$$

Следовательно,

$$t<-2 \quad \text{или} \quad t>\frac13.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$\log_{1/3} x<-2 \quad \text{или} \quad \log_{1/3} x>\frac13.$$

Так как $$0<\frac13<1$$, знаки неравенств меняются:

$$x>\left(\frac13\right)^{-2}=9 \quad \text{или} \quad 0<x<\left(\frac13\right)^{1/3}=\frac1{\sqrt[3]{3}}.$$

Ответ: $$x\in\left(0;\frac1{\sqrt[3]{3}}\right)\cup(9;+\infty).$$