Упр.45.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_{\frac{1}{3}} x+\log_{\frac{1}{3}}(4-x)>-1$$;
б) $$\log_2(7-x)+\log_2 x\geqslant 1+\log_2 3$$;
в) $$\lg(7-x)+\lg x>1$$;
г) $$\log_{\frac{1}{2}} x+\log_{\frac{1}{2}}(10-x)\geqslant -1+\log_{\frac{1}{2}}4{,}5$$.

а) $$\log_{\frac13}x+\log_{\frac13}(4-x)>-1$$

$$\log_{\frac13}\bigl(x(4-x)\bigr)>\log_{\frac13}3$$

Так как основание $$\frac13<1,$$ знак неравенства меняется:

$$x(4-x)<3$$

$$x^2-4x+3>0$$

$$(x-1)(x-3)>0$$

Отсюда $$x<1$$ или $$x>3.$$

Учитываем ОДЗ:

$$x>0,\quad 4-x>0 \Rightarrow 0<x<4.$$

Пересечение множеств даёт:

$$x\in(0;1)\cup(3;4).$$

б) $$\log_2(7-x)+\log_2x\ge 1+\log_2 3$$

$$\log_2\bigl(x(7-x)\bigr)\ge \log_2 6$$

Так как основание $$2>1,$$ получаем:

$$x(7-x)\ge 6$$

$$x^2-7x+6\le 0$$

$$(x-1)(x-6)\le 0$$

Отсюда $$1\le x\le 6.$$

ОДЗ:

$$x>0,\quad 7-x>0 \Rightarrow 0<x<7.$$

Следовательно,

$$x\in[1;6].$$

в) $$\lg(7-x)+\lg x>1$$

$$\lg\bigl(x(7-x)\bigr)>\lg 10$$

Так как функция $$\lg$$ возрастает, имеем:

$$x(7-x)>10$$

$$x^2-7x+10<0$$

$$(x-2)(x-5)<0$$

Отсюда $$2<x<5.$$

ОДЗ:

$$x>0,\quad 7-x>0 \Rightarrow 0<x<7.$$

Итак,

$$x\in(2;5).$$

г) $$\log_{\frac12}x+\log_{\frac12}(10-x)\ge -1+\log_{\frac12}4{,}5$$

$$\log_{\frac12}\bigl(x(10-x)\bigr)\ge \log_{\frac12}2+\log_{\frac12}4{,}5$$

$$\log_{\frac12}\bigl(x(10-x)\bigr)\ge \log_{\frac12}9$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ знак неравенства меняется:

$$x(10-x)\le 9$$

$$x^2-10x+9\ge 0$$

$$(x-1)(x-9)\ge 0$$

Отсюда $$x\le 1$$ или $$x\ge 9.$$

ОДЗ:

$$x>0,\quad 10-x>0 \Rightarrow 0<x<10.$$

Следовательно,

$$x\in(0;1]\cup[9;10).$$

Ответ: а) $$x\in(0;1)\cup(3;4);$$ б) $$x\in[1;6];$$ в) $$x\in(2;5);$$ г) $$x\in(0;1]\cup[9;10).$$