Упр.45.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

• а) $$\log_2 x \geq 4$$;
• б) $$\log_2 x \leq -3$$;
• в) $$\log_2 x < \frac{1}{2}$$;
• г) $$\log_2 x > -\frac{1}{2}$$.

Так как основание логарифма $$2>1,$$ функция $$y=\log_2 x$$ возрастает на области определения $$x>0.$$ Поэтому при сравнении логарифмов можно переходить к сравнению их аргументов.

Ход решения

1. $$\log_2 x \ge 4$$

   Представим число $$4$$ в виде логарифма:

   $$4=\log_2 2^4=\log_2 16.$$

   Тогда

   $$\log_2 x \ge \log_2 16,$$

   откуда

   $$x \ge 16.$$

   С учётом области определения $$x>0$$ получаем:

   $$x \in [16; +\infty).$$

2. $$\log_2 x \le -3$$

   Запишем число $$-3$$ как логарифм:

   $$-3=\log_2 2^{-3}=\log_2 \frac{1}{8}.$$

   Тогда

   $$\log_2 x \le \log_2 \frac{1}{8},$$

   значит

   $$0<x\le \frac{1}{8}.$$

3. $$\log_2 x < \frac{1}{2}$$

   Представим $$\frac{1}{2}$$ в виде логарифма:

   $$\frac{1}{2}=\log_2 2^{1/2}=\log_2 \sqrt{2}.$$

   Тогда

   $$\log_2 x < \log_2 \sqrt{2},$$

   откуда

   $$0<x<\sqrt{2}.$$

4. $$\log_2 x > -\frac{1}{2}$$

   Запишем число $$-\frac{1}{2}$$ как логарифм:

   $$-\frac{1}{2}=\log_2 2^{-1/2}=\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

   Тогда

   $$\log_2 x > \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}},$$

   значит

   $$x>\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Ответ

а) $$x \in [16; +\infty)$$; б) $$x \in \left(0; \frac{1}{8}\right]$$; в) $$x \in (0; \sqrt{2})$$; г) $$x \in \left(\frac{1}{\sqrt{2}}; +\infty\right).$$