Упр.44.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$2\log_5^2 x+5\log_5 x+2=0$$; б) $$3\log_4^2 x-7\log_4 x+2=0$$; в) $$2\log_{0,3}^2 x-7\log_{0,3} x-4=0$$; г) $$3\log_{\frac{1}{2}}^2 x+5\log_{\frac{1}{2}} x-2=0$$.
Положим $$y=\log_5 x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение
$$2y^2+5y+2=0.$$
Разложим на множители:
$$2y^2+5y+2=(2y+1)(y+2)=0.$$
Отсюда
$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=-2.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\log_5 x=-\frac12 \Rightarrow x=5^{-1/2}=\frac1{\sqrt5},$$
$$\log_5 x=-2 \Rightarrow x=5^{-2}=\frac1{25}.$$
Ответ: $$\frac1{\sqrt5};\ \frac1{25}.$$
Положим $$y=\log_4 x.$$ Тогда
$$3y^2-7y+2=0.$$
Разложим на множители:
$$3y^2-7y+2=(3y-1)(y-2)=0.$$
Отсюда
$$y_1=\frac13,\qquad y_2=2.$$
Тогда
$$\log_4 x=\frac13 \Rightarrow x=4^{1/3}=\sqrt[3]{4},$$
$$\log_4 x=2 \Rightarrow x=4^2=16.$$
Ответ: $$\sqrt[3]{4};\ 16.$$
Положим $$y=\log_{0,3} x.$$ Тогда
$$2y^2-7y-4=0.$$
Разложим на множители:
$$2y^2-7y-4=(2y+1)(y-4)=0.$$
Отсюда
$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=4.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\log_{0,3} x=-\frac12 \Rightarrow x=(0,3)^{-1/2}=\frac{\sqrt{30}}{3},$$
$$\log_{0,3} x=4 \Rightarrow x=(0,3)^4=0,0081.$$
Ответ: $$\frac{\sqrt{30}}{3};\ 0,0081.$$
Положим $$y=\log_{\frac12} x.$$ Тогда
$$3y^2+5y-2=0.$$
Разложим на множители:
$$3y^2+5y-2=(3y-1)(y+2)=0.$$
Отсюда
$$y_1=\frac13,\qquad y_2=-2.$$
Тогда
$$\log_{\frac12} x=\frac13 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{1/3}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2},$$
$$\log_{\frac12} x=-2 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{-2}=4.$$
Ответ: $$\frac{\sqrt[3]{4}}{2};\ 4.$$
