Упр.44.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_2^2 x-4\log_2 x+3=0$$; б) $$\log_4^2 x-\log_4 x-2=0$$; в) $$\log_{\frac{1}{2}}^2 x+3\log_{\frac{1}{2}} x+2=0$$; г) $$\log_{0,2}^2 x+\log_{0,2} x-6=0$$.

а) Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда получаем:

$$y^2-4y+3=0$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$$

$$y_1=1,\quad y_2=3$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2^1=2$$

$$\log_2 x=3 \Rightarrow x=2^3=8$$

Ответ: $$2;\ 8$$

б) Пусть $$y=\log_4 x.$$ Тогда:

$$y^2-y-2=0$$

$$\left(y+1\right)\left(y-2\right)=0$$

$$y_1=-1,\quad y_2=2$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_4 x=-1 \Rightarrow x=4^{-1}=\frac14$$

$$\log_4 x=2 \Rightarrow x=4^2=16$$

Ответ: $$\frac14;\ 16$$

в) Пусть $$y=\log_{\frac12} x.$$ Тогда:

$$y^2+3y+2=0$$

$$\left(y+1\right)\left(y+2\right)=0$$

$$y_1=-1,\quad y_2=-2$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_{\frac12} x=-1 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{-1}=2$$

$$\log_{\frac12} x=-2 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{-2}=4$$

Ответ: $$2;\ 4$$

г) Пусть $$y=\log_{0,2} x.$$ Тогда:

$$y^2+y-6=0$$

$$\left(y+3\right)\left(y-2\right)=0$$

$$y_1=-3,\quad y_2=2$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_{0,2} x=-3 \Rightarrow x=(0,2)^{-3}=125$$

$$\log_{0,2} x=2 \Rightarrow x=(0,2)^2=0,04$$

Ответ: $$0,04;\ 125$$