Упр.44.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

$$\log_x\left(3x-\sqrt{18}\right)+\log_{x^2}\left(6+x\sqrt{72}+3x^2\right)=\frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}$$

$$\log_x(3x-\sqrt{18})+\log_{x^2}(6+x\sqrt{72}+3x^2)=\frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}.$$

Преобразуем выражения под логарифмами:

$$3x-\sqrt{18}=3(x-\sqrt2),$$

$$6+x\sqrt{72}+3x^2=3(x^2+2x\sqrt2+2)=3(x+\sqrt2)^2,$$

а также

$$\frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}=\log_{x^2}27x^2=\log_{x^2}(3\sqrt3\,x)^2= \log_x(3\sqrt3\,x).$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$\log_x\bigl(3(x-\sqrt2)\bigr)+\log_{x^2}\bigl(3(x+\sqrt2)^2\bigr)=\log_x(3\sqrt3\,x).$$

Используем свойство логарифмов:

$$\log_{x^2}A=\frac12\log_x A,$$

поэтому

$$\log_x\bigl(3(x-\sqrt2)\bigr)+\log_x\bigl(\sqrt3(x+\sqrt2)\bigr)=\log_x(3\sqrt3\,x).$$

Сложим логарифмы:

$$\log_x\Bigl(3(x-\sqrt2)\cdot \sqrt3(x+\sqrt2)\Bigr)=\log_x(3\sqrt3\,x).$$

Так как основания одинаковые, при допустимых значениях аргументов получаем:

$$3\sqrt3(x^2-2)=3\sqrt3\,x,$$

$$x^2-2=x,$$

$$x^2-x-2=0,$$

$$(x-2)(x+1)=0,$$

$$x=2 \text{ или } x=-1.$$

Проверим область допустимых значений:

$$x>0,\quad x\ne 1,\quad x-\sqrt2>0.$$

Отсюда $$x>\sqrt2,$$ значит, подходит только $$x=2.$$

Ответ: $$2$$.