Упр.44.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$x^2\log_{36}(5x^2-2x-3)-x\log_{\frac{1}{6}}\sqrt{5x^2-2x-3}=x^2+x$$;
- б) $$x^2\log_{2}\frac{3+x}{10}-x^2\log_{\frac{1}{2}}(2+3x)=x^2-4+2\log_{\sqrt{2}}\frac{3x^2+11x+6}{10}$$.
а) Обозначим $$t=\log_6(5x^2-2x-3).$$ Тогда
$$\log_{36}(5x^2-2x-3)=\frac12\log_6(5x^2-2x-3)=\frac12t,$$
$$\log_{1/6}\sqrt{5x^2-2x-3}=\log_{1/6}(5x^2-2x-3)^{1/2}=\frac12\log_{1/6}(5x^2-2x-3)=-\frac12t.$$
Получаем уравнение
$$\frac12x^2t-\;x\left(-\frac12t\right)=x^2+x,$$
$$\frac12x^2t+\frac12xt-x^2-x=0,$$
$$x\left(\frac12xt+\frac12t-x-1\right)=0.$$
Удобнее сгруппировать так:
$$\frac12x^2t+\frac12xt-x^2-x=0,$$
$$x\left(\frac12xt+\frac12t-x-1\right)=0,$$
$$x(x+1)(t-2)=0.$$
Отсюда:
$$x=0,\quad x=-1,\quad t=2.$$
При $$x=0$$ и $$x=-1$$ получаем допустимые значения, так как
$$5x^2-2x-3>0.$$
Если $$t=2,$$ то
$$\log_6(5x^2-2x-3)=2,$$
$$5x^2-2x-3=36,$$
$$5x^2-2x-39=0.$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot(-39)=4+780=784,$$
$$x=\frac{2\pm 28}{10},$$
$$x_1=-\frac{13}{5},\quad x_2=3.$$
Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.
б) Обозначим
$$t=\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}.$$
Тогда
$$\log_{\frac12}(2+3x)=-\log_2(2+3x),$$
и уравнение можно переписать в виде
$$x^2t-x^2\bigl(-\log_2(2+3x)\bigr)=x^2-4+2\log_{\sqrt2}\frac{3x^2+11x+6}{10}.$$
Используем формулу
$$\log_{\sqrt2}A=2\log_2A,$$
тогда
$$x^2\log_2\frac{3+x}{10}-x^2\log_{\frac12}(2+3x)=x^2-4+4\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}.$$
После преобразований получаем
$$x^2t=x^2-4+4t,$$
$$x^2t-x^2+4-4t=0,$$
$$x^2(t-1)-4(t-1)=0,$$
$$\left(x^2-4\right)(t-1)=0,$$
$$(x-2)(x+2)(t-1)=0.$$
Отсюда:
$$x=2,\quad x=-2,\quad t=1.$$
Проверим:
при $$x=-2$$ значение $$2+3x=-4<0,$$ поэтому этот корень не подходит;
при $$t=1$$
$$\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}=1,$$
$$\frac{3x^2+11x+6}{10}=2,$$
$$3x^2+11x-14=0,$$
$$D=11^2-4\cdot 3\cdot(-14)=121+168=289,$$
$$x=\frac{-11\pm 17}{6},$$
$$x_1=-\frac{14}{3},\quad x_2=1.$$
Из них подходит только $$x=1,$$ так как при $$x=-\frac{14}{3}$$ нарушается ОДЗ.
Ответ
а) $$-1,\;-\frac{13}{5},\;0,\;3$$; б) $$1,\;2$$.
