Упр.44.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$6^{\log_6^2 x}+x^{\log_6 x}=12$$; б) $$10^{\lg^2 x}+9x^{\lg x}=1000$$.

а) $$6^{\log_6^2 x}+x^{\log_6 x}=12$$

Так как $$6^{\log_6^2 x}=\left(6^{\log_6 x}\right)^{\log_6 x}=x^{\log_6 x},$$ то получаем

$$2x^{\log_6 x}=12,$$

$$x^{\log_6 x}=6.$$

Пусть $$t=\log_6 x.$$ Тогда $$x=6^t,$$ и

$$x^{\log_6 x}=(6^t)^t=6^{t^2}=6.$$

Следовательно,

$$t^2=1,$$

$$t=\pm 1.$$

Тогда

$$x=6^1=6,\qquad x=6^{-1}=\frac{1}{6}.$$

Ответ: $$\frac{1}{6};\ 6.$$

б) $$10^{\lg^2 x}+9x^{\lg x}=1000$$

Аналогично, так как $$10^{\lg^2 x}=\left(10^{\lg x}\right)^{\lg x}=x^{\lg x},$$ то

$$10x^{\lg x}=1000,$$

$$x^{\lg x}=100.$$

Пусть $$t=\lg x.$$ Тогда $$x=10^t,$$ и

$$x^{\lg x}=(10^t)^t=10^{t^2}=100=10^2.$$

Значит,

$$t^2=2,$$

$$t=\pm \sqrt{2}.$$

Тогда

$$x=10^{\sqrt{2}},\qquad x=10^{-\sqrt{2}}=\frac{1}{10^{\sqrt{2}}}.$$

Ответ: $$\frac{1}{10^{\sqrt{2}}};\ 10^{\sqrt{2}}.$$