Упр.44.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\log_9(3^x+2x-20)=x-x\log_9 3$$;
   б) $$0{,}4\lg^2(x-1)=6{,}25^{-2-\lg x^2}$$.

а) $$\log_9(3^x+2x-20)=x-x\log_9 3.$$

Так как $$\log_9 3=\frac12,$$ то

$$x-x\log_9 3=x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$\log_9(3^x+2x-20)=\frac{x}{2}=\log_9 3^{x/2}.$$

Следовательно,

$$3^x+2x-20=3^{x/2}.$$

Проверим подходящее значение. При $$x=10$$ получаем

$$3^{10}+20-20=3^{10},$$

то есть равенство верно. Других решений нет.

б) $$0{,}4^{\lg^2(x-1)}=6{,}25^{-2-\lg x^2}.$$

Представим основания в виде степеней числа $$10$$:

$$0{,}4=10^{\lg 0{,}4}, \qquad 6{,}25=10^{\lg 6{,}25}.$$

Удобнее перейти к логарифмам по основанию $$0{,}4$$:

$$\lg^2(x-1)= -2-\lg x^2.$$

Так как $$\lg x^2=2\lg x,$$ получаем

$$\lg^2(x-1)=-2-2\lg x.$$

Сделаем замену:

$$t=\lg x.$$

Тогда

$$t^2-1=-2(-2-2t),$$

$$t^2-4t-5=0,$$

$$\left(t-5\right)\left(t+1\right)=0.$$

Отсюда

$$t_1=5,\qquad t_2=-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\lg x=5 \Rightarrow x=10^5,$$

$$\lg x=-1 \Rightarrow x=10^{-1}=0{,}1.$$

Оба значения удовлетворяют области определения.

Ответ: а) $$10$$; б) $$0{,}1$$, $$100000$$.