Упр.44.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система: $$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{-y}=\frac{1}{27},\quad \log_{2}(2x)-\log_{2}y=2$$;

б) система: $$\left(\frac{1}{2}\right)^x\cdot\left(\sqrt{2}\right)^y=\log_{9}3,\quad \log_{4}y-\log_{4}x=1$$.

а) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \left(\dfrac13\right)^{2x}\cdot \left(\dfrac13\right)^{-y}=\dfrac1{27},\\ \log_2(2x)-\log_2 y=2. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем:

$$\left(\dfrac13\right)^{2x-y}=\left(\dfrac13\right)^3,$$

значит,

$$2x-y=3.$$

Из второго уравнения:

$$\log_2(2x)-\log_2 y=\log_2\frac{2x}{y}=2,$$

откуда

$$\frac{2x}{y}=4.$$

Тогда

$$2x=4y.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} 2x-y=3,\\ 2x=4y. \end{cases}$$

Подставим $$2x=4y$$ в первое уравнение:

$$4y-y=3,$$

$$3y=3,\quad y=1.$$

Тогда

$$2x=4,\quad x=2.$$

Проверка области допустимых значений: $$x>0,\ y>0$$, найденная пара подходит.

б) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \left(\dfrac12\right)^x\cdot (\sqrt2)^y=\log_9 3,\\ \log_4 y-\log_4 x=1. \end{cases}$$

Так как $$\log_9 3=\dfrac12$$, первое уравнение перепишем так:

$$\left(\dfrac12\right)^x\cdot \left(\dfrac12\right)^{-y/2}=\dfrac12,$$

то есть

$$\left(\dfrac12\right)^{x-\frac y2}=\left(\dfrac12\right)^1,$$

следовательно,

$$x-\frac y2=1.$$

Из второго уравнения:

$$\log_4 y-\log_4 x=\log_4\frac{y}{x}=1,$$

откуда

$$\frac{y}{x}=4,\quad y=4x.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x-\frac{4x}{2}=1,$$

$$x-2x=1,$$

$$-x=1,\quad x=-1.$$

Тогда

$$y=4x=-4.$$

Но для логарифмов должно быть $$x>0$$ и $$y>0$$, а полученная пара этому не удовлетворяет. Значит, система решений не имеет.

Ответ

а) $$\left(2;\,1\right)$$; б) решений нет.