Упр.44.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) система $$\begin{cases}\log_9(x-y)=\frac{1}{2},\\ \log_{64}x-\log_{64}y=\frac{1}{3};\end{cases}$$ б) система $$\begin{cases}\log_{\frac{1}{3}}(3x-y)=\log_{\frac{1}{3}}(x+4),\\ \log_9(x^2+x-y)=\log_9 x^2.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_9(x-y)=\dfrac12,\\ \log_{64}x-\log_{64}y=\dfrac13. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем:

$$\log_9(x-y)=\dfrac12 \;\Rightarrow\; x-y=9^{1/2}=3.$$

Из второго уравнения:

$$\log_{64}\frac{x}{y}=\dfrac13 \;\Rightarrow\; \frac{x}{y}=64^{1/3}=4.$$

Тогда $$x=4y$$, а из $$x-y=3$$ имеем:

$$4y-y=3,\qquad 3y=3,\qquad y=1.$$

Следовательно, $$x=4$$. Проверка области допустимых значений: $$x>0,\ y>0,\ x-y>0$$ — найденная пара подходит.

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_{1/3}(3x-y)=\log_{1/3}(x+4),\\ \log_9(x^2+x-y)=\log_9 x^2. \end{cases}$$

Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны их аргументы:

$$\begin{cases} 3x-y=x+4,\\ x^2+x-y=x^2. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$x-y=0 \;\Rightarrow\; y=x.$$

Подставим в первое:

$$3x-x= x+4 \;\Rightarrow\; 2x=x+4 \;\Rightarrow\; x=4.$$

Тогда $$y=4$$. Проверим ОДЗ: $$3x-y>0,\ x+4>0,\ x^2+x-y>0,\ x\neq 0$$. Для пары $$(4,4)$$ все условия выполняются.

Ответ: а) $$(4;1)$$; б) $$(4;4)$$.