Упр.44.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\begin{cases}\log_{5}(x+y)=1,\\ \log_{6}x+\log_{6}y=1;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\log_{0,5}(x+2y)=\log_{0,5}(3x+y),\\ \log_{7}(x^2-y)=\log_{7}x.\end{cases}$$

Рассмотрим каждую систему отдельно.

а)

$$\begin{cases} \log_5(x+y)=1,\\ \log_6 x+\log_6 y=1 \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем:

$$x+y=5.$$

Из второго уравнения:

$$\log_6 x+\log_6 y=\log_6(xy)=1,$$

значит

$$xy=6.$$

Тогда система сводится к уравнению

$$x(5-x)=6,$$

$$x^2-5x+6=0,$$

$$(x-2)(x-3)=0.$$

Отсюда

$$x=2 \text{ или } x=3.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y=5-x.$$

Если $$x=2,$$ то $$y=3.$$
Если $$x=3,$$ то $$y=2.$$

Оба решения подходят, так как $$x>0$$ и $$y>0.$$

б)

$$\begin{cases} \log_{0,5}(x+2y)=\log_{0,5}(3x+y),\\ \log_7(x^2-y)=\log_7 x \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$x+2y=3x+y,$$

откуда

$$y=2x.$$

Из второго уравнения:

$$x^2-y=x,$$

то есть

$$x^2-2x=x,$$

$$x^2-3x=0,$$

$$x(x-3)=0.$$

С учётом области определения $$x>0$$ получаем $$x=3.$$ Тогда

$$y=2x=6.$$

Проверка области определения выполнена: $$x+2y>0,$$ $$3x+y>0,$$ $$x^2-y>0,$$ $$x>0.$$

Ответ: а) $$(2;3),\ (3;2);$$ б) $$(3;6).$$