Упр.44.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

а) $$\begin{cases}\log_2(x^2+3x-2)-\log_2 y=1,\\3x-y=2;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}2x+y=7,\\\log_3(x^2+4x-3)-\log_3 y=1.\end{cases}$$

а) Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$3x-y=2 \Rightarrow y=3x-2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\log_2(x^2+3x-2)-\log_2(3x-2)=1.$$

По свойству логарифмов:

$$\log_2\frac{x^2+3x-2}{3x-2}=1,$$

откуда

$$\frac{x^2+3x-2}{3x-2}=2.$$

Тогда

$$x^2+3x-2=6x-4,$$

$$x^2-3x+2=0,$$

$$(x-1)(x-2)=0.$$

Следовательно, $$x=1$$ или $$x=2$$.

Найдём $$y$$:

$$x=1 \Rightarrow y=3\cdot 1-2=1,$$

$$x=2 \Rightarrow y=3\cdot 2-2=4.$$

Проверка области определения: $$x^2+3x-2>0$$ и $$y>0$$. Оба найденных решения подходят.

б) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$2x+y=7 \Rightarrow y=7-2x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\log_3(x^2+4x-3)-\log_3(7-2x)=1.$$

По свойству логарифмов:

$$\log_3\frac{x^2+4x-3}{7-2x}=1,$$

значит

$$\frac{x^2+4x-3}{7-2x}=3.$$

Тогда

$$x^2+4x-3=21-6x,$$

$$x^2+10x-24=0,$$

$$(x+12)(x-2)=0.$$

Следовательно, $$x=-12$$ или $$x=2$$.

Найдём $$y$$:

$$x=-12 \Rightarrow y=7-2(-12)=31,$$

$$x=2 \Rightarrow y=7-2\cdot 2=3.$$

Проверка области определения: $$x^2+4x-3>0$$ и $$y>0$$. Оба решения подходят.

Ответ

а) $$(1;1),\ (2;4)$$; б) $$(-12;31),\ (2;3)$$.