Упр.44.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   
   а) $$x^{1+\log_3 x}=9$$;
   
   б) $$x^{\log_{0,5}x-2}=0,125$$;
   
   в) $$x^{5+\log_2 x}=\frac{1}{16}$$;
   
   г) $$x^{\log_{\frac{1}{3}}-4}=27$$.

Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда $$x=3^y,$$ и уравнение

$$x^{1+\log_3 x}=9$$

примет вид

$$\left(3^y\right)^{1+y}=9=3^2.$$

Получаем

$$3^{y(1+y)}=3^2,$$

откуда

$$y^2+y-2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+8=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}.$$

Тогда

$$y_1=-2,\qquad y_2=1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac{1}{9},$$

$$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3.$$

Аналогично:

$$x^{\log_{0,5}x-2}=0,125.$$

Пусть $$y=\log_{0,5}x,$$ тогда $$x=(0,5)^y.$$ Получаем

$$\left((0,5)^y\right)^{y-2}=0,125=(0,5)^3,$$

то есть

$$y(y-2)=3,$$

$$y^2-2y-3=0.$$

Отсюда

$$D=4+12=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$

Следовательно,

$$y_1=-1,\qquad y_2=3.$$

Тогда

$$\log_{0,5}x=-1 \Rightarrow x=(0,5)^{-1}=2,$$

$$\log_{0,5}x=3 \Rightarrow x=(0,5)^3=\frac{1}{8}.$$

Далее:

$$x^{5+\log_2 x}=\frac{1}{16}.$$

Пусть $$y=\log_2 x,$$ тогда $$x=2^y.$$ Получаем

$$\left(2^y\right)^{5+y}=\frac{1}{16}=2^{-4},$$

то есть

$$y(5+y)=-4,$$

$$y^2+5y+4=0.$$

Отсюда

$$\left(y+1\right)\left(y+4\right)=0,$$

$$y_1=-1,\qquad y_2=-4.$$

Тогда

$$\log_2 x=-1 \Rightarrow x=2^{-1}=\frac{1}{2},$$

$$\log_2 x=-4 \Rightarrow x=2^{-4}=\frac{1}{16}.$$

И наконец:

$$x^{\log_{1/3}x-4}=27.$$

Пусть $$y=\log_{1/3}x,$$ тогда $$x=\left(\frac13\right)^y.$$ Получаем

$$\left(\left(\frac13\right)^y\right)^{y-4}=27=\left(\frac13\right)^{-3},$$

то есть

$$y(y-4)=-3,$$

$$y^2-4y+3=0.$$

Отсюда

$$\left(y-1\right)\left(y-3\right)=0,$$

$$y_1=1,\qquad y_2=3.$$

Тогда

$$\log_{1/3}x=1 \Rightarrow x=\frac13,$$

$$\log_{1/3}x=3 \Rightarrow x=\frac{1}{27}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{9},\ 3$$; б) $$\frac{1}{8},\ 2$$; в) $$\frac{1}{16},\ \frac{1}{2}$$; г) $$\frac{1}{27},\ \frac{1}{3}$$.