Упр.44.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$x^{\log_3 x}=81$$;
2. $$x^{\log_{0{,}5} x}=\frac{1}{16}$$;
3. $$x^{\log_2 x}=16$$;
4. $$x^{\log_{\frac{1}{3}} x}=\frac{1}{81}$$.

Используем свойство: если $$x^{{\log_a x}}=b,$$ то удобно сделать замену $$t=\log_a x,$$ тогда $$x=a^t.$$

1. $$x^{{\log_3 x}}=81$$

   Пусть $$t=\log_3 x,$$ тогда $$x=3^t.$$ Получаем:

   $$(3^t)^t=81 \\\\ 3^{t^2}=3^4 \\\\ t^2=4 \\\\ t=\pm 2$$

   Тогда

   $$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9, \qquad \log_3 x=-2 \Rightarrow x=\frac{1}{9}$$

2. $$x^{{\log_{0,5} x}}=\frac{1}{16}$$

   Пусть $$t=\log_{0,5} x,$$ тогда $$x=(0,5)^t.$$ Имеем:

   $$\bigl((0,5)^t\bigr)^t=\frac{1}{16} \\\\ (0,5)^{t^2}=(0,5)^4 \\\\ t^2=4 \\\\ t=\pm 2$$

   Тогда

   $$\log_{0,5} x=2 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^2=\frac14, \qquad \log_{0,5} x=-2 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{-2}=4$$

3. $$x^{{\log_2 x}}=16$$

   Пусть $$t=\log_2 x,$$ тогда $$x=2^t.$$ Получаем:

   $$(2^t)^t=16 \\\\ 2^{t^2}=2^4 \\\\ t^2=4 \\\\ t=\pm 2$$

   Тогда

   $$\log_2 x=2 \Rightarrow x=4, \qquad \log_2 x=-2 \Rightarrow x=\frac14$$

4. $$x^{{\log_{1/3} x}}=\frac{1}{81}$$

   Пусть $$t=\log_{1/3} x,$$ тогда $$x=\left(\frac13\right)^t.$$ Имеем:

   $$\left(\left(\frac13\right)^t\right)^t=\frac{1}{81} \\\\ \left(\frac13\right)^{t^2}=\left(\frac13\right)^4 \\\\ t^2=4 \\\\ t=\pm 2$$

   Тогда

   $$\log_{1/3} x=2 \Rightarrow x=\left(\frac13\right)^2=\frac19, \qquad \log_{1/3} x=-2 \Rightarrow x=\left(\frac13\right)^{-2}=9$$

Ответ: а) $$\frac19,\ 9$$; б) $$\frac14,\ 4$$; в) $$\frac14,\ 4$$; г) $$\frac19,\ 9$$.