Упр.44.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_5(6-5^x)=1-x$$;
б) $$\log_3(4\cdot 3^{x-1}-1)=2x-1$$.

а) Рассмотрим уравнение $$\log_5(6-5^x)=1-x.$$

По определению логарифма:

$$\log_5(6-5^x)=\log_5 5^{\,1-x}$$

Тогда

$$6-5^x=5^{\,1-x}=\frac{5}{5^x}.$$

Умножим на $$5^x$$:

$$6\cdot 5^x-5^{2x}=5.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$5^{2x}-6\cdot 5^x+5=0.$$

Сделаем замену $$t=5^x$$, тогда получим:

$$t^2-6t+5=0.$$

$$\left(t-1\right)\left(t-5\right)=0,$$

откуда $$t_1=1,$$ $$t_2=5.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$5^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$5^x=5 \Rightarrow x=1.$$

Оба значения подходят области определения $$6-5^x>0$$.

б) Рассмотрим уравнение $$\log_3\left(4\cdot 3^{x-1}-1\right)=2x-1.$$

По определению логарифма:

$$\log_3\left(4\cdot 3^{x-1}-1\right)=\log_3 3^{\,2x-1}.$$

Тогда

$$4\cdot 3^{x-1}-1=3^{2x-1}.$$

Умножим на $$3$$:

$$4\cdot 3^x-3=3^{2x}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$3^{2x}-4\cdot 3^x+3=0.$$

Сделаем замену $$t=3^x$$, тогда:

$$t^2-4t+3=0.$$

$$\left(t-1\right)\left(t-3\right)=0,$$

откуда $$t_1=1,$$ $$t_2=3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$

Оба значения удовлетворяют области определения $$4\cdot 3^{x-1}-1>0$$.

Ответ

а) $$x=0,\ 1$$; б) $$x=0,\ 1$$.