Упр.44.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\lg(100x)\cdot\lg x=-1$$; б) $$\lg^2(10x)+\lg(10x)=6-3\lg\frac{1}{x}$$.

а) $$\lg 100x \cdot \lg x=-1$$

Так как $$\lg 100x=\lg 100+\lg x=2+\lg x,$$ сделаем замену $$t=\lg x.$$ Тогда получаем:

$$(2+t)t=-1 \\\\ t^2+2t+1=0 \\\\ (t+1)^2=0 \\\\ t=-1$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\lg x=-1 \\\\ x=10^{-1}=0{,}1$$

б) $$\lg^2 10x+\lg 10x=6-3\lg \frac{1}{x}$$

Преобразуем логарифмы:

$$\lg 10x=1+\lg x,\qquad \lg \frac{1}{x}=-\lg x$$

Тогда при $$t=\lg x$$ имеем:

$$(1+t)^2+(1+t)=6-3(-t)$$

$$1+2t+t^2+1+t=6+3t$$

$$t^2-4=0$$

$$t=\pm 2$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\lg x=-2 \Rightarrow x=10^{-2}=0{,}01$$

$$\lg x=2 \Rightarrow x=10^2=100$$

Ответ: а) $$0{,}1$$; б) $$0{,}01; 100$$.