Упр.44.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\lg^2 x-\lg x+1=\frac{9}{\lg 10x}$$
• б) $$\log_3^2 x+3\log_3 x+9=\frac{37}{\log_3\frac{x}{27}}$$
• в) $$\lg^2 x-2\lg x+4=\frac{9}{\lg 100x}$$
• г) $$\log_2^2 x+7\log_2 x+49=-\frac{218}{\log_2\frac{x}{128}}$$

а) Обозначим $$y=\lg x.$$ Тогда $$\lg 10x=\lg x+1=y+1,$$ и уравнение принимает вид

$$y^2-y+1=\frac{9}{y+1}.$$

Умножим на $$y+1$$:

$$(y+1)(y^2-y+1)=9$$

$$y^3+1=9$$

$$y^3=8,\quad y=2.$$

Тогда

$$\lg x=2,\quad x=10^2=100.$$

б) Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда $$\log_3 \frac{x}{27}=\log_3 x-3=y-3,$$ и получаем

$$y^2+3y+9=\frac{37}{y-3}.$$

Умножим на $$y-3$$:

$$(y-3)(y^2+3y+9)=37$$

$$y^3-27=37$$

$$y^3=64,\quad y=4.$$

Тогда

$$\log_3 x=4,\quad x=3^4=81.$$

в) Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда $$\lg 100x=\lg x+2=y+2,$$ и уравнение имеет вид

$$y^2-2y+4=\frac{9}{y+2}.$$

Умножим на $$y+2$$:

$$(y+2)(y^2-2y+4)=9$$

$$y^3+8=9$$

$$y^3=1,\quad y=1.$$

Следовательно,

$$\lg x=1,\quad x=10.$$

г) Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда $$\log_2 \frac{x}{128}=\log_2 x-7=y-7,$$ и получаем

$$y^2+7y+49=\frac{-218}{y-7}.$$

Умножим на $$y-7$$:

$$(y-7)(y^2+7y+49)=-218$$

$$y^3-343=-218$$

$$y^3=125,\quad y=5.$$

Тогда

$$\log_2 x=5,\quad x=2^5=32.$$

Ответ: а) $$100$$; б) $$81$$; в) $$10$$; г) $$32$$.