Упр.44.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_x(2x^2+x-2)=3$$; б) $$\log_{x-1}(12x-x^2-19)=3$$.

Пусть основание логарифма и подлогарифмическое выражение удовлетворяют области допустимых значений.

а)

$$\log_x(2x^2+x-2)=3$$

По определению логарифма:

$$2x^2+x-2=x^3$$

$$x^3-2x^2-x+2=0$$

$$x^2(x-2)-1(x-2)=0$$

$$(x^2-1)(x-2)=0$$

$$(x-1)(x+1)(x-2)=0$$

Отсюда:

$$x=-1,\; x=1,\; x=2.$$

Учитываем ОДЗ:

$$x>0,\quad x\ne 1,\quad 2x^2+x-2>0.$$

Из найденных корней подходит только $$x=2$$.

б)

$$\log_{x-1}(12x-x^2-19)=3$$

По определению логарифма:

$$12x-x^2-19=(x-1)^3$$

$$12x-x^2-19=x^3-3x^2+3x-1$$

$$x^3-2x^2-9x+18=0$$

$$x^2(x-2)-9(x-2)=0$$

$$(x^2-9)(x-2)=0$$

$$(x-3)(x+3)(x-2)=0$$

Отсюда:

$$x=-3,\; x=2,\; x=3.$$

Учитываем ОДЗ:

$$x-1>0,\quad x-1\ne 1,\quad 12x-x^2-19>0.$$

То есть

$$x>1,\quad x\ne 2.$$

Из найденных корней подходит только $$x=3$$.

Ответ: а) $$2$$; б) $$3$$.