Упр.44.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_{23}(2x-1)-\log_{23}x=0$$;
   б) $$\log_{0,5}(4x-1)-\log_{0,5}(7x-3)=1$$;
   в) $$\log_{3,4}(x^2-5x+8)-\log_{3,4}x=0$$;
   г) $$\log_{1/2}(x+9)-\log_{1/2}(8-3x)=2$$.

а) $$\log_{23}(2x-1)-\log_{23}x=0$$

ОДЗ: $$2x-1>0,\quad x>0.$$ Отсюда $$x>\frac12.$$

Перенесём второй логарифм вправо:

$$\log_{23}(2x-1)=\log_{23}x.$$

Тогда

$$2x-1=x,$$

$$x=1.$$

Проверка ОДЗ: $$1>\frac12,$$ значит, корень подходит.

б) $$\log_{0,5}(4x-1)-\log_{0,5}(7x-3)=1$$

ОДЗ: $$4x-1>0,\quad 7x-3>0,$$ то есть $$x>\frac14,\quad x>\frac37.$$ Следовательно, $$x>\frac37.$$

Используем свойство логарифмов:

$$\log_{0,5}\frac{4x-1}{7x-3}=1.$$

Тогда

$$\frac{4x-1}{7x-3}=0,5.$$

Решаем уравнение:

$$4x-1=0,5(7x-3),$$

$$4x-1=3,5x-1,5,$$

$$0,5x=-0,5,$$

$$x=-1.$$

Но $$-1$$ не принадлежит ОДЗ, значит, корней нет.

в) $$\log_{3,4}(x^2-5x+8)-\log_{3,4}x=0$$

ОДЗ: $$x^2-5x+8>0,\quad x>0.$$

Так как $$D=25-32=-7<0,$$ то $$x^2-5x+8>0$$ при всех $$x.$$ Следовательно, достаточно $$x>0.$$

Имеем:

$$\log_{3,4}(x^2-5x+8)=\log_{3,4}x,$$

значит,

$$x^2-5x+8=x.$$

Получаем:

$$x^2-6x+8=0,$$

$$(x-2)(x-4)=0.$$

Отсюда $$x=2$$ или $$x=4.$$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

г) $$\log_{\frac12}(x+9)-\log_{\frac12}(8-3x)=2$$

ОДЗ: $$x+9>0,\quad 8-3x>0,$$ то есть $$x>-9,\quad x<\frac83.$$

Используем свойство логарифмов:

$$\log_{\frac12}\frac{x+9}{8-3x}=2.$$

Тогда

$$\frac{x+9}{8-3x}=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

Решаем уравнение:

$$4(x+9)=8-3x,$$

$$4x+36=8-3x,$$

$$7x=-28,$$

$$x=-4.$$

Проверка ОДЗ: $$-9<-4<\frac83,$$ значит, корень подходит.

Ответ

а) $$1$$; б) корней нет; в) $$2,\,4$$; г) $$-4$$.