Упр.44.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_{3}(x-2)+\log_{3}(x+2)=\log_{3}(2x-1);$$ б) $$\log_{11}(x+4)+\log_{11}(x-7)=\log_{11}(7-x);$$ в) $$\log_{0,6}(x+3)+\log_{0,6}(x-3)=\log_{0,6}(2x-1);$$ г) $$\log_{0,4}(x+2)+\log_{0,4}(x+3)=\log_{0,4}(1-x).$$

а) $$\log_3(x-2)+\log_3(x+2)=\log_3(2x-1)$$

Область допустимых значений:

$$x-2>0,\quad x+2>0,\quad 2x-1>0.$$

Отсюда $$x>2.$$

Тогда

$$\log_3\bigl((x-2)(x+2)\bigr)=\log_3(2x-1),$$

$$x^2-4=2x-1,$$

$$x^2-2x-3=0,$$

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0.$$

Получаем $$x=3$$ или $$x=-1.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=3.$$

б) $$\log_{11}(x+4)+\log_{11}(x-7)=\log_{11}(7-x)$$

Область допустимых значений:

$$x+4>0,\quad x-7>0,\quad 7-x>0.$$

То есть одновременно должны выполняться условия $$x>-4,$$ $$x>7,$$ $$x<7,$$ что невозможно.

Следовательно, уравнение решений не имеет.

в) $$\log_{0,6}(x+3)+\log_{0,6}(x-3)=\log_{0,6}(2x-1)$$

Область допустимых значений:

$$x+3>0,\quad x-3>0,\quad 2x-1>0.$$

Отсюда $$x>3.$$

Тогда

$$\log_{0,6}\bigl((x+3)(x-3)\bigr)=\log_{0,6}(2x-1),$$

$$x^2-9=2x-1,$$

$$x^2-2x-8=0,$$

$$\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0.$$

Получаем $$x=4$$ или $$x=-2.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=4.$$

г) $$\log_{0,4}(x+2)+\log_{0,4}(x+3)=\log_{0,4}(1-x)$$

Область допустимых значений:

$$x+2>0,\quad x+3>0,\quad 1-x>0.$$

Отсюда $$-2<x<1.$$

Тогда

$$\log_{0,4}\bigl((x+2)(x+3)\bigr)=\log_{0,4}(1-x),$$

$$x^2+5x+6=1-x,$$

$$x^2+6x+5=0,$$

$$\left(x+1\right)\left(x+5\right)=0.$$

Получаем $$x=-1$$ или $$x=-5.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=-1.$$

Ответ: а) $$3$$; б) решений нет; в) $$4$$; г) $$-1$$.