Упр.43.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сравните числа: а) $$\log_3 4$$ и $$\sqrt[4]{2}$$; б) $$\log_2 3$$ и $$\sqrt[3]{7}$$.

а) Сравним числа $$\log_3 4$$ и $$\sqrt[4]{2}$$.

Так как $$2\cdot 5^4=1250<6^4=1296,$$ то

$$2<\frac{6^4}{5^4}.$$

Следовательно,

$$\sqrt[4]{2}<\frac{6}{5}.$$

Сравним $$\log_3 4$$ и $$\frac{6}{5}$$:

$$3^6=729<1024=4^5,$$

откуда

$$\log_3 3^6<\log_3 4^5,$$

то есть

$$6<5\log_3 4,$$

значит,

$$\log_3 4>\frac{6}{5}.$$

Тогда

$$\log_3 4>\frac{6}{5}>\sqrt[4]{2},$$

следовательно,

$$\log_3 4>\sqrt[4]{2}.$$

б) Сравним числа $$\log_2 3$$ и $$\sqrt[3]{7}$$.

Так как $$7\cdot 3^3=189>125=5^3,$$ то

$$7>\frac{5^3}{3^3}.$$

Следовательно,

$$\sqrt[3]{7}>\frac{5}{3}.$$

Сравним $$\log_2 3$$ и $$\frac{5}{3}$$:

$$3^6=729<1024=4^5,$$

откуда

$$\log_2 2^5>\log_2 2^3,$$

значит,

$$5>3\log_2 3,$$

то есть

$$\log_2 3<\frac{5}{3}.$$

Тогда

$$\log_2 3<\frac{5}{3}<\sqrt[3]{7},$$

следовательно,

$$\log_2 3<\sqrt[3]{7}.$$

Ответ: а) $$\log_3 4>\sqrt[4]{2}$$; б) $$\log_2 3<\sqrt[3]{7}$$.