Упр.43.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\log_3\left(2\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}\right)-\log_3\left(1-\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8}\right)$$;
б) $$\log_{\sqrt{3}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{19}\right)+\log_{\sqrt{3}}\left(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{19}\right)$$;
в) $$\log_{\frac{1}{3}}\left(2\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}\right)+\log_{\frac{1}{3}}\left(1-\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{6}\right)^{-1}$$;
г) $$\log_{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}\right)+\log_{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg}\frac{5\pi}{14}\right)$$.
а) $$\log_3\!\left(2\tg\frac{\pi}{8}\right)-\log_3\!\left(1-\tg^2\frac{\pi}{8}\right)=\log_3\!\left(\frac{2\tg\frac{\pi}{8}}{1-\tg^2\frac{\pi}{8}}\right).$$
По формуле $$\tg 2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}$$ при $$x=\frac{\pi}{8}$$ получаем:
$$\log_3\!\left(\frac{2\tg\frac{\pi}{8}}{1-\tg^2\frac{\pi}{8}}\right)=\log_3\tg\frac{\pi}{4}=\log_3 1=0.$$
б) $$\log_{\sqrt3}\!\left(\tg\frac{\pi}{19}\right)+\log_{\sqrt3}\!\left(\ctg\frac{\pi}{19}\right)=\log_{\sqrt3}\!\left(\tg\frac{\pi}{19}\cdot\ctg\frac{\pi}{19}\right).$$
Так как $$\tg x\cdot\ctg x=1,$$ то
$$\log_{\sqrt3}1=0.$$
в) $$\log_{\frac13}\!\left(2\tg\frac{\pi}{6}\right)+\log_{\frac13}\!\left(1-\tg^2\frac{\pi}{6}\right)^{-1}$$
$$=\log_{\frac13}\!\left(2\tg\frac{\pi}{6}\right)-\log_{\frac13}\!\left(1-\tg^2\frac{\pi}{6}\right)$$
$$=\log_{\frac13}\!\left(\frac{2\tg\frac{\pi}{6}}{1-\tg^2\frac{\pi}{6}}\right)=\log_{\frac13}\tg\frac{\pi}{3}=\log_{\frac13}\sqrt3.$$
Так как $$\sqrt3=\left(\frac13\right)^{-\frac12},$$ то
$$\log_{\frac13}\sqrt3=-\frac12.$$
г) $$\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{\pi}{7}\right)+\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{5\pi}{14}\right)=\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{\pi}{7}\cdot\tg\frac{5\pi}{14}\right).$$
Заметим, что $$\frac{5\pi}{14}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7},$$ значит
$$\tg\frac{5\pi}{14}=\ctg\frac{\pi}{7}.$$
Тогда
$$\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{\pi}{7}\cdot\ctg\frac{\pi}{7}\right)=\log_{\frac12}1=0.$$
Ответ: а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$-\frac12$$; г) $$0$$.
