Упр.43.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$\log_{\frac{1}{2}} 7=c$$ и $$\log_{\frac{1}{2}} 3=a$$. Выразите через $$c$$ и $$a$$:
   а) $$\log_{\frac{1}{2}}21$$;
   б) $$\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{42}$$;
   в) $$\log_{\frac{1}{2}}147$$;
   г) $$\log_{\frac{1}{2}}\frac{49}{\sqrt{3}}$$.

Пусть $$\log_{\frac12} 7=c$$ и $$\log_{\frac12} 3=a.$$ Используем свойства логарифмов.

1. $$\log_{\frac12} 21=\log_{\frac12}(7\cdot 3)=\log_{\frac12}7+\log_{\frac12}3=c+a.$$

2. $$\log_{\frac12}\frac1{42}=\log_{\frac12}\left(\frac1{2\cdot 7\cdot 3}\right)=\log_{\frac12}1-\log_{\frac12}2-\log_{\frac12}7-\log_{\frac12}3.$$

   Так как $$\log_{\frac12}1=0$$ и $$\log_{\frac12}2=-1,$$ получаем

   $$\log_{\frac12}\frac1{42}=0-(-1)-c-a=1-c-a.$$

3. $$\log_{\frac12}147=\log_{\frac12}(49\cdot 3)=\log_{\frac12}(7^2)+\log_{\frac12}3=2\log_{\frac12}7+a=2c+a.$$

4. $$\log_{\frac12}\frac{49}{\sqrt3}=\log_{\frac12}\left(\frac{7^2}{3^{1/2}}\right)=\log_{\frac12}7^2-\log_{\frac12}3^{1/2}.$$

   Тогда

   $$\log_{\frac12}\frac{49}{\sqrt3}=2\log_{\frac12}7-\frac12\log_{\frac12}3=2c-\frac12 a.$$

Ответ: а) $$c+a$$; б) $$1-c-a$$; в) $$2c+a$$; г) $$2c-\frac12 a$$.