Упр.43.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Прологарифмируйте по основанию $$5$$:
а) $$\frac{125a^4}{b^4}$$;
б) $$\frac{625(\sqrt{a}\,b)^3}{c^{1/2}}$$;
в) $$\frac{25\sqrt[5]{a^6b^7}}{c^3}$$;
г) $$\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3}$$.
а) $$\log_5\frac{125a^4}{b^4}=\log_5 125+\log_5 a^4-\log_5 b^4.$$
Так как $$125=5^3,$$ то
$$\log_5\frac{125a^4}{b^4}=3+4\log_5 a-4\log_5 b.$$
б) $$\log_5\frac{625(\sqrt{ab})^3}{c^{1/2}}=\log_5 625+\log_5(\sqrt{ab})^3-\log_5 c^{1/2}.$$
Преобразуем степени:
$$625=5^4,\qquad (\sqrt{ab})^3=(ab)^{3/2}=a^{3/2}b^{3/2}.$$
Тогда
$$\log_5\frac{625(\sqrt{ab})^3}{c^{1/2}}=4+\frac{3}{2}\log_5 a+\frac{3}{2}\log_5 b-\frac{1}{2}\log_5 c.$$
в) $$\log_5\frac{25\sqrt5\,a^6b^7}{c^3}=\log_5 25+\log_5\sqrt5+\log_5 a^6+\log_5 b^7-\log_5 c^3.$$
Так как $$25=5^2,\qquad \sqrt5=5^{1/2},$$ получаем
$$\log_5\frac{25\sqrt5\,a^6b^7}{c^3}=2+\frac12+6\log_5 a+7\log_5 b-3\log_5 c.$$
Следовательно,
$$\log_5\frac{25\sqrt5\,a^6b^7}{c^3}=\frac52+6\log_5 a+7\log_5 b-3\log_5 c.$$
г) $$\log_5\left(\frac{a^6}{\sqrt[3]{b^2}}\right)^{-3}=\log_5\left(\frac{a^6}{b^{2/3}}\right)^{-3}.$$
Возводим в степень:
$$\left(\frac{a^6}{b^{2/3}}\right)^{-3}=\frac{b^2}{a^{18}}.$$
Тогда
$$\log_5\frac{b^2}{a^{18}}=\log_5 b^2-\log_5 a^{18}=2\log_5 b-18\log_5 a.$$
Ответ
а) $$3+4\log_5 a-4\log_5 b$$; б) $$4+\frac32\log_5 a+\frac32\log_5 b-\frac12\log_5 c$$; в) $$\frac52+6\log_5 a+7\log_5 b-3\log_5 c$$; г) $$2\log_5 b-18\log_5 a$$.
