Упр.43.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_{\frac{1}{2}}4\cdot\frac{\log_3 9}{\log_4\frac{1}{4}}$$
б) $$\frac{\log_{\sqrt{3}}(3\sqrt{3})}{\log_{\frac{1}{7}}\sqrt{49}}\cdot\log_5\sqrt{5}$$
в) $$\frac{\log_3 81}{\log_{0{,}5}2}\cdot\log_5 125$$
г) $$\log_{\sqrt{5}}(5\sqrt{5})\cdot\frac{\log_{0{,}3}\sqrt{0{,}3}}{\lg(10\sqrt{0{,}1})}$$

a) $$\log_{\frac12}4\cdot \log_3 9:\log_4\frac14$$

Представим числа как степени одного основания:

$$4=\left(\frac12\right)^{-2},\qquad 9=3^2,\qquad \frac14=4^{-1}.$$

Тогда

$$\log_{\frac12}4\cdot \log_3 9:\log_4\frac14=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-2}\cdot \log_3 3^2:\log_4 4^{-1}=\frac{-2\cdot 2}{-1}=4.$$

Ответ: $$4$$

б) $$\log_{\sqrt3}(3\sqrt3):\log_{\frac17}\sqrt{49}\cdot \log_5\sqrt5$$

Запишем все выражения в виде степеней:

$$3\sqrt3=3^{\frac32},\qquad \sqrt{49}=7,\qquad \sqrt5=5^{\frac12}.$$

Тогда

$$\log_{\sqrt3}(3\sqrt3):\log_{\frac17}\sqrt{49}\cdot \log_5\sqrt5=\log_{\sqrt3}3^{\frac32}:\log_{\frac17}7\cdot \log_5 5^{\frac12}=\frac{3}{1}\cdot \frac12\cdot (-1)=-\frac32.$$

Ответ: $$-1{,}5$$

в) $$\log_3 81:\log_{0{,}5}2\cdot \log_5 125$$

Имеем:

$$81=3^4,\qquad 0{,}5=\frac12,\qquad 125=5^3.$$

Тогда

$$\log_3 81:\log_{0{,}5}2\cdot \log_5 125=\log_3 3^4:\log_{\frac12}2\cdot \log_5 5^3=\frac{4}{-1}\cdot 3=-12.$$

Ответ: $$-12$$

г) $$\log_{\sqrt5}(5\sqrt5)\cdot \log_{0{,}3}\sqrt{0{,}3}:\lg 10\sqrt{0{,}1}$$

Преобразуем выражения:

$$5\sqrt5=5^{\frac32},\qquad \sqrt{0{,}3}=0{,}3^{\frac12},\qquad 10\sqrt{0{,}1}=10\cdot 10^{-\frac12}=10^{\frac12}.$$

Тогда

$$\log_{\sqrt5}(5\sqrt5)\cdot \log_{0{,}3}\sqrt{0{,}3}:\lg 10\sqrt{0{,}1}=\log_{\sqrt5}5^{\frac32}\cdot \log_{0{,}3}0{,}3^{\frac12}:\lg 10^{\frac12}.$$

Вычислим:

$$\log_{\sqrt5}5^{\frac32}=3,\qquad \log_{0{,}3}0{,}3^{\frac12}=\frac12,\qquad \lg 10^{\frac12}=\frac12.$$

Следовательно,

$$3\cdot \frac12:\frac12=3.$$

Ответ: $$3$$