Упр.42.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке $$[a, b]$$:

• а) $$y=\log_3 x$$, $$\left[\frac{1}{3};9\right]$$;
• б) $$y=\log_{\frac{1}{2}}x$$, $$\left[\frac{1}{8};16\right]$$;
• в) $$y=\lg x$$, $$[1;1000]$$;
• г) $$y=\log_{\frac{2}{3}}x$$, $$\left[\frac{8}{27};\frac{81}{16}\right]$$.

а) Так как $$3>1,$$ функция $$y=\log_3 x$$ возрастает на своей области определения. Значит, на отрезке $$\left[\frac13;9\right]$$

$$y_{\min}=y\left(\frac13\right)=\log_3\frac13=\log_3 3^{-1}=-1,$$

$$y_{\max}=y(9)=\log_3 9=\log_3 3^2=2.$$

Ответ: $$y_{\min}=-1,\; y_{\max}=2.$$

б) Так как $$\frac12<1,$$ функция $$y=\log_{\frac12}x$$ убывает на своей области определения. Поэтому на отрезке $$\left[\frac18;16\right]$$

$$y_{\min}=y(16)=\log_{\frac12}16=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-4}=-4,$$

$$y_{\max}=y\left(\frac18\right)=\log_{\frac12}\frac18=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^3=3.$$

Ответ: $$y_{\min}=-4,\; y_{\max}=3.$$

в) Так как $$10>1,$$ функция $$y=\lg x$$ возрастает. На отрезке $$[1;1000]$$

$$y_{\min}=y(1)=\lg 1=0,$$

$$y_{\max}=y(1000)=\lg 1000=\lg 10^3=3.$$

Ответ: $$y_{\min}=0,\; y_{\max}=3.$$

г) Так как $$\frac23<1,$$ функция $$y=\log_{\frac23}x$$ убывает. На отрезке $$\left[\frac{8}{27};\frac{81}{16}\right]$$

$$y_{\min}=y\left(\frac{81}{16}\right)=\log_{\frac23}\frac{81}{16}=\log_{\frac23}\left(\frac23\right)^{-4}=-4,$$

$$y_{\max}=y\left(\frac{8}{27}\right)=\log_{\frac23}\frac{8}{27}=\log_{\frac23}\left(\frac23\right)^3=3.$$

Ответ: $$y_{\min}=-4,\; y_{\max}=3.$$