Упр.42.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ график заданной логарифмической функции лежит ниже графика заданной линейной функции: а) $$y=\log_{4}(x-1)$$, $$y=-x+2$$; б) $$y=\log_{\frac{1}{2}}(x+4)$$, $$y=3x-2$$?

а) Рассмотрим функции $$y=\log_4(x-1)$$ и $$y=-x+2.$$

Область определения логарифмической функции: $$x>1.$$

На промежутке $$\left(1;+\infty\right)$$ функция $$y=\log_4(x-1)$$ возрастает, а функция $$y=-x+2$$ убывает. Значит, они могут пересечься не более чем в одной точке.

Найдём точку пересечения:

$$\log_4(x-1)=-x+2.$$

Проверим значение $$x=2$$:

$$\log_4(2-1)=\log_4 1=0,$$

$$-2+2=0.$$

Следовательно, графики пересекаются при $$x=2.$$

Так как при $$x\to 1+$$ имеем $$\log_4(x-1)\to -\infty,$$ а $$-x+2\to 1,$$ то логарифмический график лежит ниже линейного до точки пересечения.

Ответ: $$x\in(1;2).$$

б) Рассмотрим функции $$y=\log_{\frac12}(x+4)$$ и $$y=3x-2.$$

Область определения логарифмической функции: $$x>-4.$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ функция $$y=\log_{\frac12}(x+4)$$ убывает на $$(-4;+\infty),$$ а функция $$y=3x-2$$ возрастает на этом же промежутке. Значит, они пересекаются не более чем в одной точке.

Найдём точку пересечения:

$$\log_{\frac12}(x+4)=3x-2.$$

Проверим значение $$x=0$$:

$$\log_{\frac12}(0+4)=\log_{\frac12}4=-2,$$

$$3\cdot 0-2=-2.$$

Следовательно, графики пересекаются при $$x=0.$$

При $$x\to -4+$$ имеем $$\log_{\frac12}(x+4)\to +\infty,$$ а $$3x-2\to -14,$$ значит, до точки пересечения логарифмический график расположен выше линейного, а после неё — ниже. Поэтому ниже графика прямой он лежит при $$x>0.$$

Ответ: $$x\in(0;+\infty).$$