Упр.42.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях аргумента график заданной логарифмической функции лежит выше графика заданной линейной функции: а) $$y=\log_2 x$$, $$y=-x+1$$; б) $$y=\log_{0.5}x$$, $$y=x-1$$; в) $$y=\log_{\frac{1}{3}}x$$, $$y=7x$$; г) $$y=\log_3x$$, $$y=-3x$$?

Рассмотрим каждую пару функций. Точка пересечения в каждом случае находится из равенства логарифмической и линейной функций, а затем по монотонности определяем, на каком промежутке график логарифмической функции расположен выше.

1. $$y=\log_2 x,\quad y=-x+1$$

   Функция $$y=\log_2 x$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а функция $$y=-x+1$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$.

   Найдём точку пересечения:

   $$\log_2 x=-x+1$$

   Проверим $$x=1$$:

   $$\log_2 1=0,\qquad -1+1=0.$$

   Значит, графики пересекаются при $$x=1$$. Так как первая функция возрастает, а вторая убывает, то выше график логарифмической функции при $$x>1$$.

   Ответ: $$x\in(1;+\infty).$$

2. $$y=\log_{0,5} x,\quad y=x-1$$

   Функция $$y=\log_{0,5} x$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а функция $$y=x-1$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$.

   Найдём точку пересечения:

   $$\log_{0,5} x=x-1$$

   Проверим $$x=1$$:

   $$\log_{0,5} 1=0,\qquad 1-1=0.$$

   Следовательно, графики пересекаются при $$x=1$$. Так как первая функция убывает, а вторая возрастает, то выше график логарифмической функции при $$0<x<1$$.

   Ответ: $$x\in(0;1).$$

3. $$y=\log_{\frac17} x,\quad y=7x$$

   Функция $$y=\log_{\frac17} x$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а функция $$y=7x$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$.

   Найдём точку пересечения:

   $$\log_{\frac17} x=7x$$

   Проверим $$x=\frac17$$:

   $$\log_{\frac17}\frac17=1,\qquad 7\cdot\frac17=1.$$

   Значит, графики пересекаются при $$x=\frac17$$. Так как первая функция убывает, а вторая возрастает, то выше график логарифмической функции при $$0<x<\frac17$$.

   Ответ: $$x\in\left(0;\frac17\right).$$

4. $$y=\log_3 x,\quad y=-3x$$

   Функция $$y=\log_3 x$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$, а функция $$y=-3x$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$.

   Найдём точку пересечения:

   $$\log_3 x=-3x$$

   Проверим $$x=\frac13$$:

   $$\log_3\frac13=-1,\qquad -3\cdot\frac13=-1.$$

   Следовательно, графики пересекаются при $$x=\frac13$$. Так как первая функция возрастает, а вторая убывает, то выше график логарифмической функции при $$x>\frac13$$.

   Ответ: $$x\in\left(\frac13;+\infty\right).$$