Упр.42.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решите неравенство:
- $$\log_{3} x < 4 - x$$;
- $$\log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}$$;
- $$\log_{5} x \geq 6 — x$$;
- $$\log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}$$.
а) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_3 x$$ и $$g(x)=4-x.$$
На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит, неравенство выполняется до точки их пересечения включительно.
Найдём точку пересечения:
$$\log_3 x=4-x.$$
Проверим значение $$x=3$$:
$$\log_3 3=1,\qquad 4-3=1.$$
Следовательно, точка пересечения соответствует $$x=3$$, и
$$0<x\le 3.$$
б) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac12} x$$ и $$g(x)=x+\frac12.$$
На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает, значит, неравенство выполняется при $$x$$ правее точки пересечения.
Найдём точку пересечения:
$$\log_{\frac12} x=x+\frac12.$$
Проверим значение $$x=\frac12$$:
$$\log_{\frac12}\frac12=1,\qquad \frac12+\frac12=1.$$
Следовательно,
$$x>\frac12.$$
в) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_5 x$$ и $$g(x)=6-x.$$
На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит, неравенство выполняется при $$x$$ правее точки пересечения, включая её.
Найдём точку пересечения:
$$\log_5 x=6-x.$$
Проверим значение $$x=5$$:
$$\log_5 5=1,\qquad 6-5=1.$$
Следовательно,
$$x\ge 5.$$
г) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac13} x$$ и $$g(x)=x+\frac23.$$
На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает, значит, неравенство выполняется при $$x$$ левее точки пересечения, не включая её.
Найдём точку пересечения:
$$\log_{\frac13} x=x+\frac23.$$
Проверим значение $$x=\frac13$$:
$$\log_{\frac13}\frac13=1,\qquad \frac13+\frac23=1.$$
Следовательно,
$$0<x<\frac13.$$
Ответ
а) $$0<x\le 3$$; б) $$x>\frac12$$; в) $$x\ge 5$$; г) $$0<x<\frac13$$.
