Упр.42.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите графически неравенство: а) $$\log_2 x \geq -x+1$$; б) $$\log_{\frac{3}{7}} x > 4x-4$$; в) $$\log_9 x \leq -x+1$$; г) $$\log_{\frac{1}{3}} x < 2x-2$$.

Рассмотрим каждое неравенство графически, сравнивая графики функции $$y=\log_a x$$ и соответствующей прямой.

1. $$\log_2 x \ge -x+1$$

   Графики $$y=\log_2 x$$ и $$y=-x+1$$ пересекаются в точке $$x=1$$. При $$x\ge 1$$ график логарифмической функции расположен не ниже прямой.

   Ответ: $$x\in[1;+\infty)$$

2. $$\log_{\frac{3}{7}} x > 4x-4$$

   Так как основание $$\frac{3}{7}$$ меньше 1, график функции $$y=\log_{\frac{3}{7}}x$$ убывает. Точка пересечения с прямой $$y=4x-4$$ соответствует $$x=1$$. Неравенство выполняется при $$0<x<1$$.

   Ответ: $$x\in(0;1)$$

3. $$\log_9 x \le -x+1$$

   Графики $$y=\log_9 x$$ и $$y=-x+1$$ пересекаются при $$x=1$$. При $$0<x\le 1$$ график логарифмической функции не выше прямой.

   Ответ: $$x\in(0;1]$$

4. $$\log_{\frac{1}{3}} x < 2x-2$$

   Основание $$\frac{1}{3}<1$$, значит функция $$y=\log_{\frac{1}{3}}x$$ убывает. Графики пересекаются в точке $$x=1$$. Неравенство выполняется при $$x>1$$.

   Ответ: $$x\in(1;+\infty)$$