Упр.42.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\log_9 x \le -1$$; б) $$\log_{\frac{1}{3}} x < -4$$; в) $$\log_5 x \ge -2$$; г) $$\log_{0{,}2} x > -3$$.
а) Так как $$9>1,$$ логарифмическая функция возрастает, поэтому
$$\log_9 x \le -1 \iff x \le 9^{-1}=\frac{1}{9}.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем:
$$0<x\le \frac{1}{9}.$$
б) Так как $$\frac13<1,$$ логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства меняется:
$$\log_{\frac13} x<-4 \iff x>\left(\frac13\right)^{-4}=81.$$
С учётом области определения $$x>0$$ имеем:
$$x>81.$$
в) Так как $$5>1,$$ логарифмическая функция возрастает, поэтому
$$\log_5 x\ge -2 \iff x\ge 5^{-2}=\frac{1}{25}.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем:
$$x\ge \frac{1}{25}.$$
г) Так как $$0{,}2<1,$$ логарифмическая функция убывает, поэтому
$$\log_{0{,}2} x>-3 \iff x<0{,}2^{-3}=125.$$
С учётом области определения $$x>0$$ имеем:
$$0<x<125.$$
Ответ: а) $$x\in\left(0;\frac19\right];$$ б) $$x\in(81;+\infty);$$ в) $$x\in\left[\frac{1}{25};+\infty\right);$$ г) $$x\in(0;125).$$
