Упр.42.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\log_6 x \ge 2$$;
2. $$\log_{0{,}1} x > 3$$;
3. $$\log_9 x \le \frac{1}{2}$$;
4. $$\log_{\frac{4}{5}} x < 3$$.

Используем свойства логарифмической функции.

1. $$\log_6 x \ge 2$$

   Так как $$6>1,$$ функция возрастает, значит

   $$x \ge 6^2,$$

   при этом $$x>0.$$ Следовательно,

   $$x \ge 36.$$

2. $$\log_{0,1} x > 3$$

   Так как $$0,1<1,$$ функция убывает, поэтому знак неравенства меняется:

   $$x < 0,1^3,$$

   при этом $$x>0.$$ Тогда

   $$0<x<0,001.$$

3. $$\log_9 x \le \frac{1}{2}$$

   Так как $$9>1,$$ функция возрастает, значит

   $$x \le 9^{\frac{1}{2}}=3,$$

   при этом $$x>0.$$ Следовательно,

   $$0<x\le 3.$$

4. $$\log_{\frac{4}{5}} x < 3$$

   Так как $$\frac{4}{5}<1,$$ функция убывает, поэтому знак неравенства меняется:

   $$x > \left(\frac{4}{5}\right)^3,$$

   при этом $$x>0.$$ Тогда

   $$x>\frac{64}{125}.$$

Ответ: а) $$x\in[36;+\infty);$$ б) $$x\in(0;0,001);$$ в) $$x\in(0;3];$$ г) $$x\in\left(\frac{64}{125};+\infty\right).$$