Упр.42.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\log_3 x = 4 — x$$;
   б) $$\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$$;
   в) $$\log_5 x = 6 — x$$;
   Г) $$\log_{\frac{1}{3}} x = x + \frac{2}{3}$$.

а) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_3 x$$ и $$g(x)=4-x.$$

На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит, уравнение имеет единственное решение. Проверим число $$x=3$$:

$$\log_3 3=1,\qquad 4-3=1.$$

Следовательно, $$x=3$$.

б) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac12} x$$ и $$g(x)=x+\frac12.$$

На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает, значит, уравнение имеет единственное решение. Проверим число $$x=\frac12$$:

$$\log_{\frac12}\frac12=1,\qquad \frac12+\frac12=1.$$

Следовательно, $$x=\frac12$$.

в) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_5 x$$ и $$g(x)=6-x.$$

На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает, значит, уравнение имеет единственное решение. Проверим число $$x=5$$:

$$\log_5 5=1,\qquad 6-5=1.$$

Следовательно, $$x=5$$.

г) Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac13} x$$ и $$g(x)=x+\frac23.$$

На промежутке $$\left(0;+\infty\right)$$ функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает, значит, уравнение имеет единственное решение. Проверим число $$x=\frac13$$:

$$\log_{\frac13}\frac13=1,\qquad \frac13+\frac23=1.$$

Следовательно, $$x=\frac13$$.

Ответ

а) $$3$$; б) $$\frac12$$; в) $$5$$; г) $$\frac13$$.