Упр.42.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Постройте и прочитайте график функции:
а) $$y=\begin{cases}-4x+4, & \text{если } x<1,\\ \log_2 x, & \text{если } x\geqslant 1.\end{cases}$$

Построим график по частям.

1. При $$x<1$$ имеем линейную функцию $$y=-4x+4$$. Для построения достаточно взять две точки:

   $$x$$	$$0$$	$$1$$
   $$y$$	$$4$$	$$0$$

   Это убывающая прямая, проходящая через точки $$\left(0;4\right)$$ и $$\left(1;0\right)$$.

2. При $$x\ge 1$$ имеем логарифмическую функцию $$y=\log_2 x$$. Для построения возьмём точки:

   $$x$$	$$1$$	$$2$$	$$4$$	$$8$$
   $$y$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$

   Это возрастающая кривая, начинающаяся в точке $$\left(1;0\right)$$.

В точке $$x=1$$ обе части дают одно и то же значение $$y=0$$, поэтому график соединяется без разрыва.

Итак, график функции состоит из луча прямой $$y=-4x+4$$ при $$x<1$$ и графика функции $$y=\log_2 x$$ при $$x\ge 1$$.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• функция убывает при $$x<1$$ и возрастает при $$x\ge 1$$;
• наименьшее значение $$y_{\min}=0$$ при $$x=1$$;
• множество значений $$E(f)=[0;+\infty)$$;
• функция непрерывна на всей области определения.

Ответ

График состоит из прямой $$y=-4x+4$$ при $$x<1$$ и графика $$y=\log_2 x$$ при $$x\ge 1$$; $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(f)=[0;+\infty)$$, функция убывает при $$x<1$$ и возрастает при $$x\ge 1$$.