Упр.42.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases}-3x+3,& \text{если }x\leq 1,\\ \log_{\frac{1}{3}}x,& \text{если }x>1.\end{cases}$$
а) Вычислите $$f(-8),\ f(-6),\ f(0),\ f(3),\ f(9)$$;
б) постройте график функции;
в) прочитайте график функции.
$$f(x)=\begin{cases}-3x+3, & x\le 1,\\ \log_{\frac13}x, & x>1.\end{cases}$$
а) Вычислим значения функции
Так как $$-8,\,-6,\,0\le 1,$$ используем формулу $$f(x)=-3x+3.$$
$$f(-8)=-3\cdot(-8)+3=24+3=27,$$
$$f(-6)=-3\cdot(-6)+3=18+3=21,$$
$$f(0)=-3\cdot 0+3=3.$$
Так как $$3>1$$ и $$9>1,$$ используем формулу $$f(x)=\log_{\frac13}x.$$
$$f(3)=\log_{\frac13}3=\log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-1}=-1,$$
$$f(9)=\log_{\frac13}9=\log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-2}=-2.$$
б) Построим график функции
График состоит из двух частей:
- при $$x\le 1$$ — прямая $$y=-3x+3$$; она проходит через точки $$\left(0;3\right)$$ и $$\left(1;0\right)$$;
- при $$x>1$$ — график логарифмической функции $$y=\log_{\frac13}x$$; он проходит через точки $$\left(1;0\right)$$, $$\left(3;-1\right)$$, $$\left(9;-2\right)$$.
В точке $$x=1$$ обе части дают одно и то же значение $$y=0,$$ поэтому график соединяется в точке $$\left(1;0\right).$$
в) Свойства функции
- Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
- Множество значений: $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
- Функция ни чётная, ни нечётная.
- Функция убывает на всей области определения.
- Не ограничена ни сверху, ни снизу.
- Наибольшего и наименьшего значений не имеет.
- Непрерывна на всей области определения.
Ответ
$$f(-8)=27,\quad f(-6)=21,\quad f(0)=3,\quad f(3)=-1,\quad f(9)=-2.$$
График — прямая $$y=-3x+3$$ при $$x\le 1$$ и ветвь логарифмической функции $$y=\log_{\frac13}x$$ при $$x>1,$$ соединённые в точке $$\left(1;0\right).$$
