Упр.42.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Дано: $$f(x)=\log_2 x$$. Докажите, что выполняется следующее соотношение:
   а) $$f(2^x)=x$$;
   б) $$f(4^x)+f(8^x)=5x$$.

Поскольку $$f(x)=\log_2 x,$$ подставим в функцию заданные выражения.

а) $$f(2^x)=\log_2 2^x=x.$$

Следовательно, $$f(2^x)=x,$$ что и требовалось доказать.

б) $$f(4^x)+f(8^x)=\log_2 4^x+\log_2 8^x.$$

Представим основания как степени числа $$2$$:

$$\log_2 4^x=\log_2 2^{2x}=2x,$$

$$\log_2 8^x=\log_2 2^{3x}=3x.$$

Тогда

$$f(4^x)+f(8^x)=2x+3x=5x.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ: а) $$f(2^x)=x$$; б) $$f(4^x)+f(8^x)=5x.$$