Упр.42.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наибольшее значение функции:

а) $$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2+4)$$;

б) $$y=\log_{0,3}(x^2-4x+3)$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=\log_{\frac12}(x^2+4).$$

Так как $$0<\frac12<1,$$ логарифмическая функция убывает. Значит, наибольшее значение $$y$$ достигается при наименьшем значении аргумента $$x^2+4.$$

Поскольку $$x^2\ge 0,$$ то

$$x^2+4\ge 4,$$

и минимум аргумента равен $$4$$ при $$x=0.$$ Тогда

$$y_{\max}=\log_{\frac12}4=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-2}=-2.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\log_{0,3}(x^2-4x+3).$$

Так как $$0<0,3<1,$$ логарифмическая функция убывает. Поэтому наибольшее значение $$y$$ было бы при наименьшем положительном значении аргумента.

Но

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3),$$

и на области определения $$x^2-4x+3>0.$$ Парабола $$x^2-4x+3$$ ветвями вверх, её вершина при $$x=2,$$ где

$$x^2-4x+3\big|_{x=2}=4-8+3=-1,$$

то есть минимум выражения отрицателен. Следовательно, на области определения аргумент может быть сколь угодно близок к нулю, а тогда

$$\log_{0,3}(x^2-4x+3)\to +\infty.$$

Значит, наибольшего значения функция не имеет.

Ответ: а) $$-2$$; б) наибольшего значения не существует.