Упр.42.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите значение логарифмической функции $$y=\log_2 x$$ в указанных точках: а) $$x_1=4,\ x_2=8,\ x_3=16$$; б) $$x_1=\frac{2}{\sqrt{8}},\ x_2=\frac{4}{\sqrt{2}}$$; в) $$x_1=\frac{1}{8},\ x_2=\frac{1}{32},\ x_3=\frac{1}{128}$$; г) $$x_1=\sqrt{32},\ x_2=16\sqrt{128}$$.

а) Представим числа в виде степеней двойки:

$$4=2^2,\quad 8=2^3,\quad 16=2^4.$$

Тогда

$$\log_2 4=2,\quad \log_2 8=3,\quad \log_2 16=4.$$

б) Преобразуем выражения:

$$\frac{2}{\sqrt{8}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=2^{-1/2},$$

$$\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{2^2}{2^{1/2}}=2^{3/2}.$$

Следовательно,

$$\log_2 \frac{2}{\sqrt{8}}=-\frac{1}{2},\quad \log_2 \frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2}.$$

в) Запишем дроби как степени двойки:

$$\frac{1}{8}=2^{-3},\quad \frac{1}{32}=2^{-5},\quad \frac{1}{128}=2^{-7}.$$

Тогда

$$\log_2 \frac{1}{8}=-3,\quad \log_2 \frac{1}{32}=-5,\quad \log_2 \frac{1}{128}=-7.$$

г) Имеем:

$$\sqrt{32}=\sqrt{2^5}=2^{5/2},$$

$$16\sqrt{128}=2^4\cdot \sqrt{2^7}=2^4\cdot 2^{7/2}=2^{15/2}.$$

Следовательно,

$$\log_2 \sqrt{32}=\frac{5}{2},\quad \log_2 \left(16\sqrt{128}\right)=\frac{15}{2}.$$

Ответ: а) $$2;\ 3;\ 4$$; б) $$-\frac{1}{2};\ \frac{3}{2}$$; в) $$-3;\ -5;\ -7$$; г) $$\frac{5}{2};\ \frac{15}{2}$$.