Упр.41.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_{\sqrt{7}}49$$; б) $$\log_{\sqrt{2}}\left(2\sqrt{8}\right)$$; в) $$\log_{\frac{1}{15}}\left(225\sqrt[3]{15}\right)$$; г) $$\log_{\frac{3}{2}}\frac{64}{729}$$.

Воспользуемся определением логарифма и представим числа в виде степеней основания.

1. $$\log_{\sqrt{7}}49=\log_{\sqrt{7}}7^2=\log_{\sqrt{7}}(\sqrt{7})^4=4.$$

2. $$\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{8})=\log_{\sqrt{2}}(2\cdot 2\sqrt{2})=\log_{\sqrt{2}}(2^2\cdot 2^{1/2})=\log_{\sqrt{2}}2^{5/2}.$$

   Так как $$\sqrt{2}=2^{1/2},$$ то

   $$\log_{\sqrt{2}}2^{5/2}=\log_{2^{1/2}}2^{5/2}=5.$$

3. $$\log_{1/15}(225\sqrt[3]{15})=\log_{1/15}(15^2\cdot 15^{1/3})=\log_{1/15}15^{7/3}.$$

   Так как $$\frac{1}{15}=15^{-1},$$ то

   $$\log_{15^{-1}}15^{7/3}=-\frac{7}{3}=-2\frac{1}{3}.$$

4. $$\log_{3/2}\frac{64}{729}=\log_{3/2}\frac{2^6}{3^6}=\log_{3/2}\left(\frac{2}{3}\right)^6=\log_{3/2}\left(\frac{3}{2}\right)^{-6}=-6.$$

Ответ: а) $$4$$; б) $$5$$; в) $$-2\frac{1}{3}$$; г) $$-6$$.