Упр.41.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение с параметром $$a$$:

а) $$4^x-2^x+a=a\cdot2^x$$;

б) $$9^x-(2a+1)\cdot3^x+a^2+a-2=0$$.

а) Сделаем замену $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$t^2-t+a=a\cdot t,$$

$$t^2-(a+1)t+a=0.$$

Найдём корни:

$$D=(a+1)^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2,$$

$$t_{1,2}=\frac{a+1\pm(a-1)}{2}.$$

Получаем

$$t_1=1,\qquad t_2=a.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$2^x=a \Rightarrow x=\log_2 a,$$

но это возможно только при $$a>0.$$

Если $$a\le 0,$$ то второе значение не подходит, и остаётся только $$x=0.$$

б) Сделаем замену $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-(2a+1)t+a^2+a-2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2a+1)^2-4(a^2+a-2)=9.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{2a+1\pm 3}{2},$$

то есть

$$t_1=a+2,\qquad t_2=a-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3^x=a+2 \Rightarrow x=\log_3(a+2),$$

$$3^x=a-1 \Rightarrow x=\log_3(a-1).$$

Учитываем область допустимых значений:

• если $$a\le -2,$$ то решений нет;
• если $$-2<a\le 1,$$ то подходит только $$x=\log_3(a+2);$$
• если $$a>1,$$ то оба корня подходят.

Ответ

а) $$x=0$$ при $$a\le 0$$; $$x=0,\ x=\log_2 a$$ при $$a>0.$$

б) $$a\le -2$$ — решений нет; $$-2<a\le 1,\ x=\log_3(a+2);$$ $$a>1,\ x=\log_3(a+2),\ x=\log_3(a-1).$$