Упр.41.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$4^x-5\cdot2^x=-6$$;
б) $$16^x=6\cdot4^x-5$$;
в) $$9^x-7\cdot3^x=-12$$;
г) $$-9\cdot7^x+14=-49^x$$.
а) $$4^x-5\cdot 2^x=-6$$
$$2^{2x}-5\cdot 2^x+6=0$$
Пусть $$y=2^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$y^2-5y+6=0$$
$$\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0$$
Отсюда $$y=2$$ или $$y=3.$$
1) $$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$
2) $$2^x=3 \Rightarrow x=\log_2 3.$$
Ответ: $$1;\ \log_2 3.$$
б) $$16^x=6\cdot 4^x-5$$
$$4^{2x}-6\cdot 4^x+5=0$$
Пусть $$y=4^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$y^2-6y+5=0$$
$$\left(y-1\right)\left(y-5\right)=0$$
Отсюда $$y=1$$ или $$y=5.$$
1) $$4^x=1 \Rightarrow x=0.$$
2) $$4^x=5 \Rightarrow x=\log_4 5.$$
Ответ: $$0;\ \log_4 5.$$
в) $$9^x-7\cdot 3^x=-12$$
$$3^{2x}-7\cdot 3^x+12=0$$
Пусть $$y=3^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$y^2-7y+12=0$$
$$\left(y-3\right)\left(y-4\right)=0$$
Отсюда $$y=3$$ или $$y=4.$$
1) $$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$
2) $$3^x=4 \Rightarrow x=\log_3 4.$$
Ответ: $$1;\ \log_3 4.$$
г) $$-9\cdot 7^x+14=-49^x$$
$$49^x-9\cdot 7^x+14=0$$
$$7^{2x}-9\cdot 7^x+14=0$$
Пусть $$y=7^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$y^2-9y+14=0$$
$$\left(y-2\right)\left(y-7\right)=0$$
Отсюда $$y=2$$ или $$y=7.$$
1) $$7^x=2 \Rightarrow x=\log_7 2.$$
2) $$7^x=7 \Rightarrow x=1.$$
Ответ: $$1;\ \log_7 2.$$
